Моделирование прямых и обратных задач стационарной тепловой конвекции

• Автор: Стародубцева, Юлия Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 150 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Основные обозначения и соглашения

Введение

Глава 1. Прямые и обратные граничные задачи для моделей

стационарной реакции-конвекции-диффузии

1.1. Постановка прямой граничной задачи

1.2. Разрешимость и устойчивость прямой граничной задачи

1.3. Постановка обратной граничной задачи

1.4. Некорректность обратной граничной задачи

1.5. Вариационный метод решения обратной задачи

1.6. Метод квазиобращения решения обратной задачи

1.7. Метод Ньютона-Канторовича решения обратной задачи
1.8. Метод Ландвебера решения обратной задачи
1.9. Метод Левенберга-Марквардта решения обратной задачи
Глава 2. Прямые и обратные граничные задачи для моделей стационарной тепловой конвекции
высоковязкой жидкости
2.1. Постановка прямой граничной задачи
2.2. Разрешимость и устойчивость прямой граничной задачи
2.3. Постановка обратной граничной задачи
2.4. Некорректность обратной граничной задачи
2.5. Метод Ньютона-Канторовича решения обратной задачи
2.6. Метод Ландвебера решения обратной задачи
2.7. Метод Левенберга-Марквардта решения обратной задачи
Глава 3. Программные средства численного моделирования
3.1. Программные средства к задачам первой главы
3.2. Программные средства к задачам второй главы
Заключение
Список литературы
Список публикаций автора по теме диссертации

Основные обозначения и соглашения
N — множество натуральных чисел;
К — множество вещественных чисел;
R+ — множество всех положительных вещественных чисел;
Rm — евклидово пространство m-мерных векторов
/ т Ч 1/
X = (xi, ..., хт) с нормой || X || = ( ^ xj ) ;
4=1 '
— ограниченная область (открытое связное множество) в Rm;
Г = сЮ — граница области Q;
mes — мера Лебега;
supp — носитель функции;
0 — пустое множество;
Е — замыкание множества Е
—> — обозначение отображения или сильной сходимости;
—г — обозначение слабой сходимости;
inf Е — точная нижняя грань числового множества Е;
sup Е — точная верхняя грань числового множества Е
д ■ /д ■ — символ дифференцирования по соответствующей переменной;
д ■ /д п — производная по нормали;
/|е — ограничение (сужение) функции / на множество Е
f(E) — образ множества Е при отображении /;
о — обозначение суперпозиции отображений;
(■, • )х — скалярное произведение в гильбертовом пространстве Х
(•, •) — скалярное произведение в Rm;
|| • ||х — норма в нормированном пространстве Х
|| • || — норма в Rm;
X* — пространство сопряженное к пространству Х
А* — оператор сопряженный к оператору А
Ст(П) — банахово пространство всех т раз непрерывно
дифференцируемых в О функций, производные которых допускают непрерывное продолжение на Ü с нормой II У llcm(Ö) = Е max | Da у{х) |;
|а|<т хе^

LP(Q) — банахово пространство всех измеримых и суммируемых
по Лебегу на О со степенью р функций с нормой
II у IUp(n) = (/1 у(х) р dx) /Р, 1 < Р < оо;
Lp(r) — пространство суммируемых (по (п — 1)-мерной мере
Лебега на Г) со степенью р функций с нормой
II у Над = (/1 у(х) Р(1Т) /Р>1 < Р < °°'>
Loo (О) — банахово пространство измеримых существенно
ограниченных функций с нормой
II У lli^n) = vraimax | у | = inf { sup y(x) : m(E) = 0 1;
£c!1 ^ nE J
Wp(fl) — пространство Соболева всех функций из Lp(fi), имеющих
обобщенные производные до /-го порядка включительно из пространства LP(Q) с нормой

1к(п) = (/ЕЕ
к=0 (к)
1 дк у
р 1 /р

дкгХ1 ... дкпхп
где Е обозначает суммирование всех возможных (к)
производных порядка к, 1 ^ р < оо,
ЦГр(П) — подпространство пространства в котором
плотным множеством являются все гладкие и финитные в П функции;
«5^(2’; У) — пространство линейных непрерывных опереторов,
действующих из У в У;
V — градиент скалярной функции или оператор Гамильтона;
сНу — дивергенция векторного поля;
Д — оператор Лапласа;
V — для любого;
Э — существует;
и — все векторные величины обозначаются жирным
шрифтом и — (щ,..., ит);
Ш — конец доказательства или примера.

Используя признак Абеля-Дирихле [54, с. 497-499], [70, с. 231-233], можно показать, что ряд (1.3.14) сходится к своей сумме в любой точке х — (х,Х2) € £4. Используя этот же признак, можно также показать, что ряд (1.3.14) сходится равномерно по х = (ад,^) 6 П£ = [0,1] х [е, 1 — е] при любом е е (0,1/2), и поэтому функция Т е С(Пе).
Используя признак Вейерштрасса [54, с. 495], [70, с. 237], можно показать, что сам ряд (1.3.14) и ряды, полученные его почленным дифференцированием по переменным Х и Х2 сколько угодно раз, сходятся равномерно ПО X = (Х1,Х2) 6 = [0,е] х [0,1] при любом е 6 (0, 1), и поэтому функ-
ция Т € С°°(Пе). Отсюда следует, что слабое решение (1.3.14) является классическим решением задачи (1.3.11)—(1.3.13) в области при любом ее (0,1).
Учитывая условие Т 6 1/2(Г2) и равенство Парсеваля [33, с. 142]
00 2 №ъ0 Iliaf0.ll = У (у* сЦтгг'Ж!))

по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла [33, с. 284], получаем

00 > II Т 11!2(П) = I II Г( ■) Iliaf0.ll й Х1 =

Из полученного противоречивого условия ОО > || Т = оо следует,
что в рассматриваемом примере слабого решения задачи (1.3.11)—(1.3.13) не существует. ■
Утверждения о единственности решения задачи (1.3.1)—(1.3.3) известны лишь для некоторых частных случаев. Приведем одно из таких утверждений [25, с. 254].