Модели и численные методы исследования диффузионных и волновых процессов в сетеподобных системах

• Автор: Волкова, Анна Сергеевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 186 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава I. Математические модели диффузионных и волновых

процессов на пространственных сетях

§ 1. Математические модели гемодинамических процессов

1.1. Диффузионные процессы гемодинамики

1.2. Математическая модель процесса переноса

веществ по графу сосудов при наличии диффузии

1.3. Пульсовые волны в кровеносных сосудах

§ 2. Математические модели физического происхождения

2.1. Моделирование колебаний мачты и поддерживающих

ее растяжек. Антенные конструкции
2.2. Односекционная антенна
2.3. Двухсекционная антенна
2.4. Многосекционная антенна
§ 3. Другие задачи естествознания на сетях. Задачи
управления
Выводы
Глава II. Краевые и начально-краевые задачи
на пространственных сетях
§ 1. Основные понятия и обозначения
§ 2. Разрешимость краевых задач
2.1. Обобщенные решения краевых задач
2.2. Вспомогательные утверждения
2.3. Энергетическое неравенство. Теорема единственности
2.4. Разрешимость задачи Дирихле
2.5. Разрешимость общей краевой задачи
§ 3. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнения
параболического типа
3.1. Предварительные рассуждения
3.2. Однозначная разрешимость начально-краевой
задачи для уравнения теплопроводности

3.3. Однозначная разрешимость начально-краевой
задачи для уравнения общего вида
§ 4. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнения
гиперболического типа
4.1. Общие утверждения
4.2. Существование обобщенного решения
4.3. Единственность обобщенного решения
§ 5. Начально-краевые задачи с краевыми условиями
2-го и 3-го рода
§ 6. Оптимальные решения для дифференциальных систем
с распределенными параметрами на сетях
6.1. Оптимальные решения для параболических систем
6.2. Оптимальные решения для гиперболических систем
Выводы
Глава III. Метод конечных разностей для математических
моделей эволюционных процессов на пространственных
сетях
§ 1. Аппроксимация краевой задачи для эллиптического уравнения
1.1. Разностная схема
1.2. Устойчивость разностной схемы
1.3. Сходимость разностных решений
1.4. Краевые условия общего вида
§ 2. Аппроксимация начально-краевой задачи для параболического
уравнения
2.1. Вспомогательные предложения
2.2. Разностная схема
2.3. Устойчивость разностной схемы
2.4. Сходимость решений разностной схемы
§ 3. Аппроксимация начально-краевой задачи для гиперболического
уравнения
3.1. Аппроксимация, разностная схема
3.2. Устойчивость разностной схемы. Сходимость приближенных решений

§ 4. Алгоритмическое описание процесса отыскания решений
краевой и начально-краевых задач
4.1. Алгоритм отыскания решения краевой задачи для эллиптического уравнения
4.2. Алгоритм отыскания решения начально-краевой задачи для параболического уравнения
4.3. Алгоритм отыскания решения начально-краевой задачи для гиперболического уравнения
Выводы
Глава IV. Диффузионные и волновые процессы
в прикладных задачах на сетях
§ 1. Моделирование диффузионных процессов в сердечно-сосудистой
системе
1.1. Задача переноса лекарственных веществ
(однотипные сосуды)
1.2. Задача переноса лекарственных веществ
(разнотипные сосуды)
1.3. Задача дозирования лекарственных веществ
(однотипные сосуды)
1.4. Задача дозирования лекарственных веществ
(разнотипные сосуды)
1.5. Задача целевой транспортировки лекарственных
веществ (однотипные сосуды)
1.6. Задача целевой транспортировки лекарственных
веществ (разнотипные сосуды)
§ 2. Моделирование волновых явлений в сердечно-сосудистой
системе
2.1. Пульсовые волны кровопотоков графа сердечнососудистой системы (однотипные сосуды)
2.2. Пульсовые волны кровопотоков графа сердечнососудистой системы (разнотипные сосуды)
2.3. Стабилизация пульсовых волн графа сердечнососудистой системы (однотипные сосуды)

§ 2. Разрешимость краевых задач
2.1. Обобщенные решения краевых задач. Дифференциальное уравнение на геометрическом графе Г в классе С2, порожденное дифференциальным выражением (Lu)(x) (2.7) с достаточно гладкими коэффициентами а(х) и Ь(х), подразумевает классическую форму
(Lu)(х) = f(x), х € Г0 (2.11)
и соотношения (2.9) в узлах £ Е «/(Г) [66, 96).
Пусть, как и выше, коэффициенты а(ж), Ь(х) - измеримые ограниченные на Г функции, а именно:
О < а* < а(х) < а*, 5* < b(x) < b*, х Е Г (2-12)
(а*, а*, Ь*, 6* - фиксированные постоянные), функция f(x) Е Г). Условия (2.12) на коэффициенты а(ж), Ь(х) и принадлежность функции f(x) классу L2 (Г) отражают физическую сущность явлений колебаний в сетеподобных упругих конструкциях.
Определение 2. Обобщенным решением класса ИД(Г) урав}сения (2.11) называется функция и{х) Е ИД(а, Г, ./(Г)), удовлетворяющая интегральному тождеству
L{u,rj) = J f{x)r](x)dx (2.13)

при всех г](х) Е С“(Го).
Легко видеть, что это определение имеет смысл: все интегралы в (2.13) существуют. Аналогично вводится и понятие обобщенного решения и(х) Е ИД(а, Г, Н) уравнения (2.11): и(х) Е ИД(а, Г, ДГ)) в определении 2 заменяется на и[х) Е ИД(а, Г, V).
Для уравнения (2.11) далее рассмотрим задачу Дирихле, состоящую в нахождении функции и{х) из класса ИД(Г), удовлетворяющей уравнению (2.11) и краевому условию
и(х)|ог = 0, (2.14)
а также общую краевую задачу, в которой краевое условие имеет вид
(а(0)^-М0))ъ=0, (а(1)«Л + ЯИ(1))^ = 0, (2Д5)
С?=Гр)