Функциональные методы и их реализация для апостериорного контроля точности в задачах линейной теории упругости

• Автор: Фролов, Максим Евгеньевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 298 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Основные подходы к апостериорному контролю погрешности решений эллиптических краевых задач

1.1. Связь погрешности приближенного решения с нормой невязки

соответствующего дифференциального уравнения

1.2. Явный метод невязок

1.3. Метод невязок с использованием сопряженной задачи

1.4. Метод невязок с решением локальных задач

1.5. Иерархический метод

1.6. Индикаторы ошибки на основе сглаживания градиента приближенного решения

1.7. Вариационный подход и его связь с методом гиперокружностей .
1.8. Метод оценки погрешности через определяющее соотношение
1.9. Мажоранты ошибки на основе функционального подхода
1.10. Проблемно-ориентированные оценки
1.11. Оценка погрешности моделей
1.12. О свойствах различных оценок и критериях их сравнения
Глава 2. Вычислительный эксперимент для классических скалярных задач — сравнение подходов и адаптивные алгоритмы
2.1. Методики вычисления функциональных мажорант погрешности
2.2. Два способа построения свободной переменной и связанные с
этим аппроксимации
2.3. Сравнение функциональной мажоранты с классическими методами на фиксированных сетках

2.4. Реализация адаптивных алгоритмов с использованием пары кусочно-линейных непрерывных аппроксимаций метода конечных элементов
2.5. Преимущества и недостатки аппроксимации Равьяра-Тома наименьшего порядка как альтернативы непрерывным
2.6. Основные выводы
Глава 3. Апостериорные оценки для некоторых моделей в теории
пластин и стержней
3.1. Обзор публикаций по современным методам конечных элементов и апостериорному контролю точности в задаче об изгибе пластин Рейсснера-Миндлина
3.2. Классическая и обобщенная постановка задачи
3.3. Построение апостериорных оценок с привлечением методов теории двойственности вариационного исчисления
3.4. Оценка энергетической нормы ошибки на основе преобразования интегральных тождеств
3.5. Некоторые численные результаты для пластин
3.6. Обобщение метода на другие типы краевых условий
3.7. Надежный контроль точности для задачи об изгибе прямолинейных балок Тимошенко
3.8. Численные результаты для балок Тимошенко
3.9. Функциональные апостериорные оценки ошибки для балок Бернулли-Эйлера
3.10. Бигармоническая задача
3.11. Основные выводы
Глава 4. Задачи классической теории упругости
4.1. Математическая постановка плоских и пространственных задач
линейной теории упругости

4.2. Обзор применения методов апостериорного контроля точности приближенных решений в теории упругости
4.3. Функциональная оценка погрешности с симметричным тензором напряжений
4.4. Реализация вычисления мажоранты на основе стандартной билинейной аппроксимации метода конечных элементов
4.5. Оценка погрешности с учетом условия симметрии тензора в форме дополнительного штрафного слагаемого
4.6. Смешанные аппроксимации метода конечных элементов для четырехугольников и некоторые детали их реализации
4.7. Численные результаты работы авторского комплекса программ для оценки точности приближенных решений в плоских задачах классической теории упругости
4.8. Случай нескольких материалов в модели и сравнение с пакетом ANSYS
4.9. Адаптивные алгоритмы на основе функциональной мажоранты
с парой аппроксимаций Равьяра-Тома нулевого порядка
4.10. Некоторые результаты для пространственных задач
4.11. Основные выводы
Глава 5. Апостериорные оценки в теории упругости Коссера
5.1. Плоские задачи для континуума Коссера с граничным условием
на перемещения и поворот
5.2. Представление энергетической нормы отклонения от точного решения
5.3. Аналог оценки Прагера-Синжа
5.4. Функциональная, апостериорная оценка и ряд ее вычислительных свойств
5.5. Плоские задачи со смешанными краевыми условиями

С помощью оператора интерполирования Клемана удается оценить правую часть (1.4), входящую в соотношение (1.5). Это возможно сделать в случае, когда приближенное решение й является галеркинской аппроксимацией ид, то есть точным решением соответствующей конечномерной задачи, которое удовлетворяет следующему соотношению:
Vti/j • Vw/, dfl —
fwhdtt, Mwh Є Uh-
Отсюда следует, что для произвольного элемента ш £ £/о имеет место равенство
V«/, • У(Дш) <Ш — f{Ihw)dQ, — 0. п
Таким образом
(fw — Vuh ■ Vto) dü — (fw — Vuh • Vw) dQ, n n
где w — w — I^w. С другой стороны, представляя интеграл по области в виде суммы интегралов по элементам и применяя формулу интегрирования по частям, получаем

(fw — Viih ■ Vw) dfl =

(Vuh • пт)ю dE
(f + Д.U|г)w dfl —
Т дТг
где Тії совокупность всех элементов разбиения, а пт — внешняя нормаль к границе элемента Т. В сумму входят только те стороны треугольников, которые не попадают на границу области Г. Учитывая тот факт, что каждое внутреннее ребро является общим для пары элементов и обходится дважды, второе слагаемое можно переписать как сумму по множеству £/г — множеству всех ребер с исключением тех, которые лежат на границе области И. А именно

(У Uh ■ nr)w dE
дТТ

j(S7uh ■ nE)wdE,