Метод построения стохастических моделей одношаговых процессов

• Автор: Демидова, Анастасия Вячеславовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Оглавление
Глава 1. Обзор работ по теме диссертации
1.1. Обзор моделей популяционной динамики
1.2. Стохастические популяционные модели
1.3. Стохастические дифференциальные уравнения
1.4. Сведения по стохастическому исчислению
Глава 2. Метод моделирования одношаговых процессов
2.1. Одношаговые процессы. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Основное кинетическое уравнение
2.2. Метод моделирования многомерных одношаговых процессов .
2.3. Численное моделирование
Глава 3. Применение метода моделирования одношаговых процессов
3.1. Стохастические модели популяционной динамики
3.2. Стохастические модели популяционных систем с различными меж- и внутривидовыми взаимодействиями
3.3. Стохастическая модель распространения сетевых червей
3.4. Стохастические модели пиринговых протоколов
Заключение
Литература

Введение
Данная работа посвящена разработке метода построения согласованных стохастических моделей для систем, описываемых одношаговыми процессами, а также иллюстрации применения данного метода к системам популяционной динамики и моделированию р2р-протоколов для анализа и обоснования полученных результатов.
Актуальность работы
В проводимых ранее исследованиях, посвященных динамической модели управляющего модуля типа Random Early Detection (RED), возникали модели, схожие с детерминистическими моделями популяционной динамики типа «хищник-жертва» и моделями эпидемии [1-3] . Но при изучении данных моделей выяснилось, что при их построении функции для уравнений, описывающих эти модели, подбираются из общих соображений о процессах, происходящих в конкретных системах. Одним из недостатков изученного в этих работах подхода авторы отмечают его частный характер. Было описано взаимодействие модуля RED и протокола TCP Reno, но его распространение на другие варианты протокола TCP и управляющего модуля не представляется возможным [2].
Поэтому возникла задача, получения модели из первых принципов для различных систем.

Кроме того, детерминистическое описание не всегда дает хорошее (адекватное) представление о системе. В нем не учитываются различные вероятностные факторы, влияющие на поведение системы. Самым распространенным методом введения стохастики в модель является аддитивное добавление стохастического члена, который описывает лишь внешнее воздействие и никак не связан со структурой самой системы. Поэтому встает вопрос, как получить согласованную стохастическую модель.
Как решение этого вопроса возникло предположение о возможности получения стохастического и детерминистического описания системы из одного уравнения. Выяснилось, что для одношаговых процессов такая возможность существует, т.е. при моделировании системы одношаговыми процессами можно получить стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее стохастическое поведение, а уравнения в моментах для него является детерминистическим описанием системы.
На основании изложенной выше научной проблемы сформулированы следующие цель и задачи диссертации.
Цель диссертационной работы
Разработка метода построения стохастических моделей одношаговых процессов с согласованными детерминистической и стохастической частями.

интеграл (1.11) определяется как предел частичных сумм

д(х(т),т)д№{т) = 11т^2д(х{тк),тк) [¥{тк+1) - Иг{тк), (1.12)
где Н = гк+1 - гк, тк = (1 - д)ьк + дЬк+ъ д е [0,1].
Но для стохастического интеграла существенным является выбор в определении промежуточных точек Т{. Наиболее популярны следующие два варианта выбора этих точек.
— Если д = 0, то есть функция вычисляется в левых точках интервала и эта интерпретация называется интерпретацией Ито.
— Если д = 0,5, то есть функция вычисляется в средних точках интервалов и эта интерпретация называется интерпретацией Стратоновича.
Следует заметить, что зачастую уравнение Ланжевена называют уравнением Ито либо уравнением Стратоновича, имея ввиду соответствующую интерпретацию.
Выбор интерпретации влияет на конкретный вид математических формул. В частности, нас будет интересовать формула дифференциала от сложной функции и если в интерпретации Стратоновича дифференцирование производится по стандартным формулам математического анализа, то в случае интерпретации Ито данная формула выглядит более сложным образом.