Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах с учетом теплофизических свойств газа

• Автор: Рудный, Дмитрий Алексеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Архангельск
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Общая постановка задачи математического моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах

1.1 Классические модели гидро- и аэродинамики

1.2 Кинетическое уравнение Больцмана

1.3 Обобщение кинетического уравнения Больцмана на случай молекулярных газов. Уравнение Ванг Чанг-Уленбека

1.4 Модель Морзе кинетического уравнения Ванг Чанг-Уленбека

1.5 Модель Хансона-Морзе интеграла столкновений в уравнении Ванг Чанг-Уленбека

1.6 Обобщение БГК-модели кинетического уравнения Больцмана

1.7 Обобщение эллипсоидально-статистической модели кинетического уравнения Больцмана

1.8 Аналитические методы решения кинетических уравнений

1.9 Математическое моделирование течений газа в каналах
Выводы из главы
Глава 2. Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в каналах
2.1 Задача о течении Пуазейля
2.2 Задача о течении Куэтта
2.3 Задача о тепловом крипе
Выводы из главы
Глава 3. Методы вычислений
3.1 Алгоритм расчета
3.2 Практическая реализация алгоритма
3.3 Математическое обоснование и преимущества выбранных процедур
Выводы из главы
Заключение
Список литературы

Введение
Актуальность темы исследования. В последние годы в связи с развитием современных микро- и нанотехнологий все большее внимание привлекают к себе задачи, связанные с построением математических моделей процессов, протекающих в каналах, расстояние между стенками которых соизмеримо со средней длиной свободного пробега молекул газа. В этом случае при описании потоков массы газа и тепла уравнения классической гидродинамики неприменимы и для решения поставленных задач необходимо исходить из кинетического уравнения Больцмана с микроскопическими граничными условиями, которым должна удовлетворять функция распределения на стенках канала [1]-[12]. Для расчета макропараметров газа в канале в рамках кинетического подхода в общем случае используют методы прямого численного моделирования. Однако при таком подходе требуется наличие мощных вычислительных ресурсов, как в плане оперативной памяти, так и в плане процессорного времени [13]. В силу этого актуальным является развитие и применение к математическому моделированию процессов в каналах строгих аналитических методов.
Степень разработанности темы исследования. Использование методов прямого численного моделирования для расчета макропараметров газа в капало исходя из кинетического уравнения Больцмана приведено в работах К. Черчиньяни, С. Лойалки, С. Сиверта, Л. Баричелло, Л. Камарго, П. Под-ригеса и Ж. Пуазейля. Аналитические решения задач тепло- и массоперепоса в каналах в рамках кинетического подхода для одпоатомпых газов, где число Прандтля равно 2/3 к настоящему времени решены Латышевым A.B., Поповым
В.H., Юшкаповым A.A., Тестовой И.В. (например, работы |14]-[16] и [17]-[20]). В то же время, как показано в [1], для многоатомных газов число Прандтля может существенно отличаться от 2/3. Кроме того на значение числа Прандтля также существенное влияние оказывает температура газа. Вышесказанное обусловило необходимость теоретического исследования данной проблемы, определило выбор цели, задач и предмета исследования.
При построении моделей предполагается, что стспкп канала образованы

двумя параллельными бесконечными поверхностями, а относительные изменения макропараметров газа па длине свободного пробега молекул газа малы, что позволяет рассмотреть поставленные задачи в линеаризованном виде. Для описания процессов тепло- и массоперсиоса в работе использована ЭС-модель кинетического уравнения Больцмана, обобщение которой для молекулярных газов получено в [68]. В качестве граничного условия на стенках канала использована модель диффузного отражения.
Цели и задачи. Таким образом, цель представленного диссертационного исследования состоит в математическом моделировании (с использованием точных аналитических методов) процессов тепло- и массопереноса в каналах, как для одно- так и для многоатомных газов при произвольных значениях числа Прандтля, охватывающего все режимы течения газа в канале от гидродинамического до свободпомолекулярного.
Для достижения обозначенной цели автором поставлены и решены следующие взаимосвязанные задачи:
- Разработка в рамках кинетического подхода нового математического метода моделирования процессов тепло- и массопереноса в каналах произвольной толщины.
- Построение математических моделей процессов тепло- и массопереноса в задачах о течениях Пуазейля, Куэтта и теплового крипа с учетом теплофпзи-ческих свойств газа, приводящие к корректным результатам при произвольных значениях чисел Кнудсена и Прандтля.
- Построение в рамках полученных моделей для различных значений расстояний между стенками канала и числа Прандтля профилей массовой скорости газа и вектора потока тепла, а также вычисление значения потоков тепла и массы газа, приходящихся на единицу ширины канала.
- Разработка алгоритма расчета макропараметров газа в канале при произвольных значениях чисел Кнудсена и Прандтля. проведение на его основе количественного анализа зависимостей макропараметров газа от значения числа Прандтля.
Научная новизна заключается в следующих положениях, выносимых на защиту:
1. Процедура построения математических моделей течений газа в каналах

рода 117]-[20]. Решение последнего ищется в виде степенного ряда, что приводит к тому, что выражения для макропараметров газа в канале записываются в виде рядов Неймана.
Как следует из полученных в [17|-|20] результатов, скорость сходимости построенных рядов существенным образом зависит от толщины канала: чем тоньше капал, тем больше членов ряда необходимо учитывать для того, чтобы достичь заданной точности. Например, в задаче о течении Пуазейля, для того чтобы достичь погрешности вычислений, не превышающей 0,1%, при толщине канала О' — 0,11д необходимо учесть четыре члена ряда, а при В’ > 21д - только один. При И' » 1д полученные с использванием метода Кейза результаты переходят в аналогичные, полученные в рамках классической гидродинамики. В представленном диссертационном исследовании метод Кейза используется в качестве основного метода для учета влияния числа Прандтля на макропараметры газа.
1.9 Математическое моделирование течений газа в каналах
Под построением математической модели процесса подразумевается следующая процедура:
1. Выбор адекватной модели кинетического уравнения.
2. Выбор модели граничных условий.
3. Формулировка граничной задачи.
4. Аналитическое решение построенной граничной задачи.
5. Расчет (численный или аналитический) коэффициентов, входящих в итоговые выражения.
6. Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными или результатами численных расчетов, имеющихся в открытой печати.
В последующих главах описанная выше процедура применялась для построения математических моделей течений газа в каналах с параллельными стенками. В качестве основного уравнения, описывающего кинетику процесса