Исследование гашения колебаний элементов механических структур

• Автор: Атамуратов, Андрей Жиенбаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 130 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Гашение колебаний прямоугольной мембраны
1.1. Постановка задачи
1.2. Аналитический метод гашения колебаний прямоугольной мембраны
1.3. Численный метод гашения колебаний прямоугольной
мембраны
Глава 2. Гашение колебаний балки
2.1. Постановка задачи
2.2. Аналитический метод гашения колебаний балки
2.3. Численный метод гашения колебаний балки
Глава 3. Гашение колебаний прямоугольной пластины
3.1. Постановка задачи
3.2. Аналитический метод гашения колебаний прямоуголыюй пластины
3.3. Численный метод гашения колебаний прямоуголыюй
пластины
Заключение
Приложение 1. Вывод интеграла энергии прямоугольной
мембраны
Приложение 2. Вывод интеграла энергии балки
пластины
Приложение 3. Вывод интеграла энергии прямоугольной
пластины
Приложение 4. Метод редукции
Литература

Введение
В данной работе рассматривается проблема гашения колебаний элементов механических структур. В качестве таких элементов рассмотрим прямоугольные мембраны, балки и прямоугольные пластины.
Колебания прямоугольных мембран описываются уравнением вида [

и„ =а2(ихх + iiyy)+g((,x,y), / > 0,0 < х Начальные отклонения и скорость перемещения первоначального возмущения мембраны
и(0,х,у)= Н0(х,у), и,(О,х,>’) = //,(х,у) (2)
будем рассматривать как начальные условия. На границе прямоугольной мембраны наложим условие закрепления согласно
u(t,0,y) = u(t,ll,y) = u(t,x,0)=u(t,x,l2)=0. (3)
Задача гашения колебаний прямоугольной мембраны формулируется следующим образом: требуется найти управляющую функцию g(t,x,y) из класса L2(p и(Т,х,у) = 0, и,(Т,х,у)=0 (4)
за минимальное время Т. Заметим, что условие (4) равносильно обращению интеграла энергии прямоугольной мембраны (П1.8) в ноль в момент времени Т:
Е(Т) = JI[и2 + а2их + а2и,гу )dydx = 0 . о о
Колебания балок описываются гиперболическим по Петровскому уравнением [1-Ю]
и„ =-а2ихххх +g(t,x), 0 Начальные отклонения и скорость перемещения первоначального возмущения балки
u(0,x)=hg(x), U'(0,x)=hXx) , (6)
будем рассматривать как начальные условия. На концах балки наложим условия нежёсткого (шарнирного) закрепления
и(ґ,0) = uxx(t,0) = 0, u(t,l) = uxx(t,l) = 0. (7)
Задача гашения колебаний балки формулируется следующим образом: требуется найти управляющую функцию g(t,x) из класса L2(0 и(Т,х)=0, и,{т,х)= 0 (8)
за минимальное время Т. Заметим, что условие (8) равносильно обращению интеграла энергии балки (П2.8) в ноль в момент времени Т:
E(T) = iiif +аАи2хх)±с = 0.

Малые поперечные колебания упругой изотропной пластины постоянной толщины описываются уравнением Жармен-Лагранжа [1-10]
ри„ =-DAAu + g(t,x,y), 0 где D = ^ - изгибная жесткость пластинки; v - коэффициент Пуассона; Е
- модуль Юнга; р - удельная плотность на единицу площади пластинки; t -время. Для большего удобства это уравнение можно привести у виду
ия = -а2ААи + g(t,x,y), а - const (10)
Начальные отклонение и скорость распространения будем рассматривать как начальные условия
«(о, X, у) = h0 (х, у), и, (о, х,у) = /г, (х,у). (11)
На концах пластины наложим условия шарнирного закрепления
м|г=0 Ди|;. = 0 (12)
Задача гашения колебаний прямоугольной пластины формулируется следующим образом: требуется найти управляющую функцию g(t,x,y) из класса 12(0 и(т,х,у)=0, и,(т,х,у) = 0 (13)
за минимальное время Т. Заметим, что условие (13) равносильно обращению интеграла энергии прямоугольной пластины (П3.14) в ноль в момент времени Т:
I,I 'i
Е(Т ) = 11 (м,2 + а2 + агигуу lydxdt = 0.

Следуя работам Лионса Ж.Л. [11-20] будем называть такие ситуации строгой управляемостью.
Актуальность темы. Задачи гашения колебаний, и, в частности, колебаний мембран, балок и пластин, актуальны в силу многочисленных технических приложений. Например, при создании новых космических комплексов в мировой практике всё более широкое применение находят космические платформы (КП), на которых могут размещаться различного вида полезные нагрузки. Сами же КП имеют каркасную конструкцию. На борту КП размещаются приборы и агрегаты технологических систем, которые могут быть источниками механических возмущений, способствующих возникновению вынужденных упругих колебаний составных частей КП. Кроме того, эти колебания могут возникать после соударения стыковочных механизмов. Это вызывает влияние на пространственную устойчивость КП и отрицательно влияет на работу приборов, установленных на ней. Поэтому гашение таких колебаний представляет собой важную прикладную задачу.
Цель и задачи исследования. Основной целью данной работы является математическое моделирование гашения колебаний с помощью демпфера, исследование существования решения задачи гашения колебаний прямоугольных мембран, балок и прямоугольных пластин, разработка численных методов и создание вычислительного комплекса программ.

Рис. 26. Начальное условие НО
Задача гашения решается за время Т = 3.5355 или 100 точек по времени. При этом демпфер располагается в х0=0.65, у0=0.5. На рис. 27 и рис. 28 изображено поведение колебаний прямоугольной мембраны в разных проекциях, которые под воздействием демпфера постепенно сходят на нет.
Рис. 27. Процесс гашения колебаний в сечении у=0.