Проекционные алгоритмы регуляризации плохо обусловленных линейных алгебраических систем

• Автор: Иванов, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 145 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Итерационный проекционный метод С. Качмажа

1.1. Метод алгебраической реконструкции

1.1.1. Метод Качмажа как итерационный метод уменьшения ошибки .

1.1.2. Постановка задачи реконструктивной компьютерной томографии

1.2. Влияние последовательности выбора строк в алгоритме алгебраической реконструкции

1.2.1. Алгоритм упорядочивания строк с использованием четной перестановки

1.2.2. Рандомизированный алгоритм Качмажа

1.2.3. Классификация и обобщение способов выбора проекционной

последовательности

1.3. Программные реализации модификации классического алгоритма
Качмажа и вычислительный эксперимент
1.3.1. Классический алгоритм Качмажа с циклическим правилом
1.3.2. Классический алгоритм Качмажа с квазиоптимальным правилом
1.3.3. Классический алгоритм Качмажа с использованием правила четной перестановки
1.3.4. Классический алгоритм Качмажа с использованием рандомизированного правила
1.3.5. Результаты вычислительных экспериментов для задачи компьютерной томографии с параллельной схемой сканирования
1.4. Заключение
Глава 2. Проекционный метод для решения задачи регуляризации решений
линейных систем
2.1. Регуляризованный итерационный проекционный метод
2.2. Рандомизированный регуляризованный метод алгебраической реконструкции
2.3. Квазиоптимальный регуляризованный метод алгебраической реконструкции
2.4. Результаты вычислительных экспериментов для задачи компьютерной томографии с параллельной схемой сканирования в присутствии возмущений
2.5. Заключение
Глава 3. Решение интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода на основе расширенных регуляризованных нормальных уравнений
3.1. Понятие корректно поставленной задачи
3.2. Корректность постановки вычислительной задачи
3.3. Метод регуляризации А.Н. Тихонова для задачи нормального псевдорешения с.л.а.у
3.3.1. Выбор параметра регуляризации при решении с.л.а.у. со множеством правых частей
3.4. Решение дискретизированного интегрального уравнения Фредгольма с использованием регуляризованного алгоритма Качмажа
3.4.1. О решении задачи Филлипса
3.4.2. О решении еще одной тестовой задачи реконструкции изображения
3.5...........................................................Заключение
Глава 4. Регуляризирующие алгоритмы вычисления оценок двумерных импульсных характеристик искажающих систем
4.1. Об эффективной индексации двухуровневых теплицевых матриц .
4.2. Постановка задачи идентификации
4.2.1. Приведение обобщенной задачи регуляризации к каноническому виду
4.2.2. Метод расширенных регуляризованных систем для обобщенной задачи регуляризации
4.3. Правило останова итерационных алгоритмов как параметр регуляризации
4.4. Решение задачи идентификации с использованием останова итерационного алгоритма по специальным правилам
4.5. Заключение
Заключение
Список литературы

параметров модели, а и2 — моделируемые неоднородности. В [1] приводятся типичные значения описанных параметров:
с cw : с = 1000, cw £ [—200, 200] , Ro ^ Rw ■ Ro — 120, Rw £ [1, 50] .
(1.26)
В зависимости от числа ракурсов сканирования и количества отсчетов в каждой проекции матрица из с.л.а.у. (1.22) может иметь как полный, так и неполный столбцовый ранг. В случае если rank (Л) = п, то решение в смысле метода наименьших квадратов (МНК) единственно и определяется из решения нормальной с.л.а.у. АтАи = Af. Однако если матрица А сильно разреженная, то матрица АТА теряет это свойство, более того, спектральное число обусловленности матрицы К2 {АГА) = к-2 (Л)2, и при плохой обусловленности матрицы Л получить численно устойчивое решение практически невозможно. 0| О,
100 //////////
Iff////////////

AWWWWWNNNN
XWWWWWWW
^ччччччччччччч

Рис. 1.4. Шаблоны матриц А (слева) и АтА (справа). В матрице А 3.3% ненулевых элементов, а в матрице АтА — 57.7%.
На Рисунке 1.4 слева изображен шаблон матрицы А, а справа — шаблон