Сплайны в задачах интерполяции и регрессионного анализа гауссовских процессов и гладких функций

• Автор: Крымова, Екатерина Александровна
• Шифр специальности: 05.13.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Сплайны и интерполяция стационарных гауссовских процессов

1.1. Обзор методов интерполяции

1.1.1. Сплайны

1.1.2. Сплайны с натяжением

1.1.3. Кригинг

1.1.4. Барицентрический метод интерполяции

1.2. Эквивалентность метода интерполяционных сплайнов и предельных интерполяций стационарного гауссовского процесса

1.3. Минимаксная интерполяция стационарных гауссовских процессов

1.4. Интерполяция гладких функций

1.5. Контроль точности для интерполяции сплайнами
1.6. Выводы
Глава 2. Экспоненциальное взвешивание упорядоченных оценок
2.1. Оценивание в белом шуме с помощью упорядоченных оценок
2.1.1. Постановка задачи
2.1.2. Сглаживающие сплайны как упорядоченные оценки
2.2. Оракульное неравенство для метода экспоненциального взвешивания в задаче оценивания вектора в белом шуме
2.2.1. Метод экспоненциального взвешивания
2.2.2. Экспоненциальное взвешивание упорядоченных оценок .
2.2.3. Дополнительные результаты
2.2.4. Доказательство Теоремы

2.3. Оценивание в стационарном шуме при помощи упорядоченных
оценок
2.4. Выводы
Глава 3. Результаты экспериментов
3.1. Сравнение методов одномерной интерполяции
3.1.1. Быстрый алгоритм для сплайнов порядка т
3.1.2. Результаты сравнения методов одномерной интерполяции
3.2. Сравнение методов контроля точности интерполяции для сплайнов и кригинга
3.3. Сравнение метода экспоненциального взвешивания и метода минимизации несмещенной оценки риска
3.4. Выводы
Заключение
Литература
Список публикаций

Введение
Актуальность работы. Диссертация посвящена задачам математической теории интерполяции стационарных гауссовских процессов и оценивания гладких функций регрессии. При этом существенное внимание уделяется интерполяционным методам и методам оценивания, основанным на сплайнах [1].
Задачи интерполяции функций естественным образом возникают в различных областях прикладной математики, а методы интерполяции широко используются в многочисленных инженерных приложениях. Как правило, задача интерполяции заключается в восстановлении неизвестной функции по ее значениям, заданным на дискретном множестве точек. Очевидно, что в общем случае точно восстановить функцию во всех точках невозможно и поэтому основной целью является поиск методов интерполяции, обеспечивающих минимально возможную ошибку интерполяции. Понятно также, что как ошибка интерполяции, так и метод интерполяции критически зависят от имеющейся априорной информации об интерполируемой функции. Во многих случаях довольно естественно предполагать, что интерполируемая функция является гладкой. При этом естественно возникает неформальная задача о том, как оптимальным образом трансформировать интуитивное понятие гладкости в метод интерполяции.
Классические подходы к интепроляции гладких функций связаны с интерполяциями с помощью полиномов. Они разрабатывались Лагранжем, Ньютоном, Стирлингом и др. [2-4]. Хорошо известно, что интерполяция полиномами становится крайне неустойчива при возрастании числа наблюдений (феномен Рунге) [5], к тому же нет возможности контролировать степень гладкости получающейся интерполяции. Именно поэтому возникла идея использования интерполяционных локальных полиномов невысокой степени. Для снижения погрешности интерполяции отрезок наблюдения функции разбивается на несколько отрезков и на каждом из них строится интерполяционный локальный полином, затем полиномы гладко сшиваются. Степень локального полинома чаще вы-

Граница снизу для г(Ь) доказывается методом, предложенным в [12]. Будем считать, что £(ж), і Є К1, стационарный гауссовский случайный процесс со спектральной плотностью

+ ехр
Г 1 ( 1
< ехр 2є2 Є 1 £

здесь постоянная Кф определяется из условия
(1.42)
(2тгиутРф(и) йш = Ці - є).
Заметим, что при е —> О
(2ттсиУтГеЦи>) йсо = 2(1 + о{1))Кф

и, следовательно,
Кф = (1 + 0(1))
Ці-є) (к

(1.43)
2 7Г/
Определим гладкую аппроксимацию индикатора отрезка [О, Т] следующим образом:

Хт{х) =
г(х - у)(іу,
где Z(■) - положительная, ограниченная, бесконечно дифференцируемая функция с носителем на отрезке [—1/2,1/2] и такая, что
2(х) с1х = 1.
Хорошо известно, что в качестве такой функции можно взять, например,

Z{x) = ехр

[(2а;)* - I]

{ [(2 иУ-