Методы нелинейного анализа в проблеме качественного и приближенного исследования некоторых задач теории управления и оптимизации

• Автор: Казунин, Алексей Валерьевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 114 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
§1. Гомотопический метод исследования функционалов
классического вариационного исчисления
1.1. Постановка задачи
1.2. Основная теорема
1.3. Подготовительные леммы
1.4. Доказательство основной теоремы
1.5. Признаки минимума для конкретных классов интегральных функционалов
§2. Метод Ритца приближенного решения оптимизационных задач
2.1. Постановка задачи
2.2. Теорема сходимости метода Ритца
2.3. Подготовительные леммы
2.4. Доказательство теоремы сходимости
2.5. Задачи классического вариационного исчисления
2.6. Многомерные задачи вариационного исчисления
2.7. Задачи оптимального управления
§3. О построении сеток в проблеме приближенного
решения уравнений с распределенными параметрами
3.1. Постановка задачи
3.2. Гладкие отображения
3.3. Непрерывные отображения областей
3.4. Кусочно-гладкие отображения областей

§4. Устойчивость систем с бесконечным числом степеней
свободы
4.1. Вспомогательные результаты
4.2. Постановка задачи
4.3. Основная теорема
4.4. Вспомогательная лемма
4.5. Доказательство основной теоремы
Заключение
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
В последние годы наблюдается бурное развитие нелинейного анализа и его приложений к смежным областям (хаотическая динамика, теория колебаний, теория игр и математическая экономика и т.д.). Отметим здесь монографии [10, 18, 19, 26, 31, 38, 40, 43, 45, 46, 47, 52, 56, 57, 63, 68, 79]. Идеи и методы нелинейного анализа привели к существенным продвижениям как в классических разделах математики (вариационное исчисление, нелинейное программирование, математическая физика и др.), так в ряде прикладных областей (теория управления, методы оптимизации, численные алгоритмы и методы (см. например, [1, 18, 22, 25, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 44, 49, 50, 63, 71])). Однако внедрение идей и методов нелинейного анализа в прикладные области находится в состоянии интенсивного развития и весьма далеко от своего завершения.
Настоящая диссертация посвящена приложениям методов нелинейного анализа к проблемам качественного и приближенного исследования некоторых задач вариационного исчисления, бесконечномерной оптимизации, оптимального управления, теории устойчивости систем с распределенными параметрами, численным методам.
Диссертация состоит из Введения, четырех параграфов, Заключения и списка литературы.
Во Введении излагается состояние проблемы исследований, делается библиографический обзор и приводится краткое содержание работы.
В первом параграфе диссертации развивается гомотопический метод исследования функционалов классического вариационного исчисления. Утверждения первого параграфа базируются на следующей абстрактной схеме исследования вариационных задач, изложенной в монографиях [10, 38].
Пусть Я — вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (•; •),
/:Я -+М
— дифференцируемый по Фреше функционал, градиент
V/ : Я -+ Я

однако
|*o(MI + |Уо(<о)| > М.
Без ограничения общности можно считать, что на промежутке (0, Ао) функция £o(i) не обращается в нуль. Пусть для определенности
жоСО >
при 0 < t < А0 и
îfo(*o) > 0.
Обозначим через t первый момент времени, больший t0, при котором выполнено равенство
2/о(^ 1 ) —
(если
Уо(к) = 0,
ТО t = to).
Рассмотрим функцию
v(t) = Vi(aroU), yoW).
Эта функция в силу леммы 1.2 является неубывающей. Согласно свойству 2° первая компонента Xi(w,v) барьерного отображения Fi(n,v) имеет положительную частную производную по и. Поэтому из соотношения х = X{u,v) переменную и можно выразить через х и v:
и = W(x,v).
Введем в рассмотрение функцию
w(t) = Vi(W(xo(t), t>(ii)) (0 < f ^ il)