Новые условия экспоненциальной устойчивости линейных систем с запаздыванием

• Автор: Егоров, Алексей Валерьевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 135 с. : ил.

Оглавление

Обозначения и сокращения

Введение

1 Системы линейных уравнений с запаздыванием

1.1. Общие сведения

1.2. Методы исследования устойчивости

1.3. Постановка задачи

2 Квадратичные функционалы Ляпунова-Красовского,

матрица Ляпунова

2.1. Функционалы полного типа и матрица Ляпунова

2.2. Некоторые преобразования функционалов полного типа

2.3. Новая форма функционала Ьо
2.4. Свойства матрицы Ляпунова
3 Исследование устойчивости систем с запаздыванием
при помощи матрицы Ляпунова
3.1. Скалярное уравнение с одним запаздыванием. Новый критерий
устойчивости
3.2. Необходимые условия устойчивости. Первый подход
3.2.1. Система с одним запаздыванием
3.2.2. Система с несколькими запаздываниями

3.3. Необходимые условия устойчивости. Второй подход
3.3.1. Система с одним запаздыванием
3.3.2. Система с несколькими запаздываниями
3.4. Достаточные условия устойчивости. Критерий экспоненциальной устойчивости
3.5. Применение полученных условий устойчивости
Заключение
Литература
Приложение А. Исходный код программы, реализующей проверку представленных в диссертации условий устойчивости в Mat lab .

Обозначения и сокращения
в 1- множество вещественных чисел,
• — множество векторов, состоящих из п вещественных компонент,
• N — множество натуральных чисел,
• 2- множество целых чисел,
• С ([а. 6], М.") — пространство непрерывных вектор-функций, определённых на отрезке [а,Ь],
• ([а, 6]. К"') — пространство непрерывных вектор-функций, определённых на [а, 6] и имеющих на этом отрезке к непрерывных производных,
• РС ([а, Ь]. М71) — пространство кусочно-непрерывных вектор-функций (т.е. вектор-функций, имеющих конечное число точек разрыва первого рода), заданных на отрезке [а. Ь},
• [г] — целая часть числа г, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее г,
• запись ф > О означает положительную определённость, а ф ф О - положительную полуопределённость симметричной матрицы О.
• запись ф ^ О означает, что матрица ф не является положительно полуопре-делёиной,
• через у=1 обозначается блочная матрица размерности пг х пг. где блоки Рц - квадратные матрицы размерности п х п,
• I — единичная матрица,
• <4е1 А — определитель матрицы А,
• Ашт(ф), Ашах(ф) ~ наименьшее и наибольшее собственное число симметричной матрицы ф,
• запись к = р, гп означает, что параметр к последовательно принимает все целые значения от р до т (р ^ т),

Интегрируем неравенство на интервале [О,Т.
v(xT) - v(xq) ^ 0.
Так как система экспоненциально устойчива,
lim v(xt) = 0.
Т —*со
Устремив Т к бесконечности, получим, что

ü(t0) = v( Очевидно, всё вышесказанное не зависит от выбора матриц И7],..., Wm.
Главное, чтобы они были положительно определены. □
Сделаем ещё один шаг в сторону упрощения. Введём новый функционал

vi(tp) = vo(tp) + J <рт(в)Ур(в) dd. (2.20)

Для него справедливо следующее утверждение.
Утверждение 2.8. Система (1.1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда
1) выполнено условие Ляпунова,
2) существует число а > 0 такое, что
ъ(<р) >аЫЦ, <р е PC ([—Я. 0], Rn).
Доказательство. Достаточность следует из теоремы 1.6. И действительно, во-первых, производная функционала. У(ф) в силу системы (1.1) равна
dVl^ = -нч(.гу) = -xT(t - H)Wx(t - Я).