Методы и алгоритмы оптимизации динамических систем, описываемых линейными уравнениями с управляемыми коэффициентами

• Автор: Батурина, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Основы теории

1.1. Достаточные условия оптимальности и улучшения управления В.Ф. Кротова для непрерывных систем

1.2. Глобальный метод улучшения

1.3. Вырожденные задачи.

Разрывные (импульсные) и магистральные решения

1.4. Достаточные условия оптимальности и улучшения для дискретно-непрерывных систем

2. Оптимизация систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями

2.1. Постановка задачи

2.2. Билинейная система и гамильтонова система

2.3. Необходимые условия оптимальности
(в форме принципа максимума Понтрягина)
2.4. Особенности реализации глобального метода
улучшения управления
2.5. Вычислительные эксперименты
2.6. Квантовая система
2.7. Основные результаты главы
3. Оптимизация дискретно-непрерывных систем
3.1. Линейные по состоянию дискретно-непрерывные системы. Постановка задачи
3.2. Достаточные условия оптимальности и улучшения
3.3. Итерационный алгоритм

3.4. Пример. Экономический рост с учетом инноваций
3.5. Приложение к нелинейным системам
3.6. Пример
3.7. Основные результаты главы
4. Исследование глобального метода улучшения применительно к магистральным решениям билинейной задачи оптимального управления
4.1. Билинейная задача оптимального управления. Постановка задачи
4.2. Переход к производной задаче
4.3. Итерационный алгоритм
4.4. Дискретно-непрерывное представление
магистрального решения
4.5. Пример
4.6. Оптимизация передачи возбуждения в спиновой цепочке с использованием магистральных решений
4.7. Основные результаты главы
Заключение
Список литературы

Введение
К настоящему времени теория оптимального управления, возникшая на рубеже 50-х, 60-х годов прошлого века, стала полноценной математической дисциплиной, а ее основные результаты - принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования Веллмана - классическими. Однако прямое использование указанного аппарата сопряжено со значительными трудностями, и построение аналитических решений задач оптимального управления возможно лишь в отдельных случаях. Поэтому важное значение имеют приближенные и численные методы итерационного типа для исследования и решения оптимизационных задач. Исторически в этой области определились и активно развиваются различные подходы и направления исследований в зависимости от их теоретических основ, каковыми являются общие методы вариационного исчисления и оптимального управления.
Еще в начале 1950-х гг. A.A. Фельдбаум сформулировал задачу оптимального управления динамической системой [194, 195]. Основополагающими результатами математической теории оптимального управления, как уже указывалось, являются принцип максимума Л.С. Понтрягина [162, 163], метод динамического программирования Р. Веллмана [31], а также достаточные условия оптимальности В.Ф. Кротова [121, 124].
Большой вклад в становление теории оптимального управления внесли A.A. Милютин [148, 149], A.A. Красовский [117], H.H. Красовский [119, 118], A.B. Куржанский [134, 135]. Основы теории активных систем разработаны в работе [44].
Большую группу численных методов составляют методы градиентного типа [204, 205, 124, 193] и их разнообразные модификации [215, 224, 139, 71, 158, 47, 98, 192, 193, 4].
Другое направление, основанное на принципе расширения и достаточных условиях оптимальности, получило развитие в работах В.Ф. Кротова и В.И. Гурмана [124] и в серии работ их последователей. В них предложен

Таблица 2.3. Варьирование у.
Номер итерации у = 0 у = 0,1 'ч II О сл V =
0 -6,5645 -6,5645 -6,5645 -6,5
1 -7,2103 -7,2889 -7,3406 -8,2
2 -7,5404 -7,7260 -7,8619 -8,9
3 -7,7803 -8,0689 -8,3341 -9,2
4 -7,9787 -8,3702 -8,7236 -9,5
5 -8,1422 -8,6404 -9,0462 -9,6
6 -8,2789 -8,8816 -9,2672 -9,8
7 -8,3916 -9,0869 -9,4532 -9,9
8 -8,4823 -9,2653 -9,6175 -10,0
9 -8,5551 -9,4140 -9,9166 -10,1
- -8,8241 -10,1606 -11,7656 -11,9
Таблица 2.4. Сравнение глобального метода и градиентного метода.
Номер итерации Глобальный метод Градиентный метод
0 -6,5645 -6,5
1 -7,2889 -6,8
2 -7,7260 -7,0
3 -8,0689 -7,2
4 -8,3702 -7,4
5 -8,6404 -7,7
6 -8,8816 -7,9
7 -9,0869 -8,1
8 -9,2653 -8,3
9 -9,4140 -8,5
3, при ЭТОМ 1р — 0,5, /3 = 0.
Таблица 2.5. Сравнение глобального и градиентного методов.
Номер итерации Глобальный метод Градиентный метод
0 -6,5645 -6,5
1 -8,2363 -7,0
2 -8,9838 -7,4
3 -9,2730 -7,9
4 -9,5488 -8,3
5 -9,6718 -8,7
6 -9,8144 -9,0
7 -9,9429 -9,2
8 -10,0456 -9,4
9 -10,1637 -9,6
При расширении отрезка допустимых значений управления до [-10, 10] глобальный метод остается также более эффективным, значение функциона-