Повышение устойчивости методов реконструкции распределений плотности в сечениях объектов в компьютерной томографии

• Автор: Щекотин, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 05.11.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 123 с. : ил.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ В СЕЧЕНИЯХ ОБЪЕКТОВ

1.1. Принцип исследования

1.2. Преобразование Радона как основа математического описания задачи

1.3. Виды задач реконструкции распределений плотности

1.4. Использование преобразования Фурье

1.5. Дискретное преобразование Радона

1.6. Итерационный алгоритм определения длин пересечений прямой с

элементами области сканирования

Выводы по главе

2. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ИЗВЕСТНЫХ МЕТОДОВ РЕКОНСТРУКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ

- 2.1. Оператор обратного проецирования

2.2. Формулы обращения преобразования Радона
2.3. Метод свертки и обратной проекции и его модификации
2.4. Метод итераций Качмажа
2.5. Алгебраический алгоритм восстановления в форме, удобной для
компьютерной реализации
Выводы по главе
3. ПОВЫШЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОВ РЕКОНСТРУКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С НЕПОЛНЫМИ ДАННЫМИ
3.1. Некорректные задачи
3.2. Использование метода регуляризации Тихонова для повышения устойчивости методов реконструкции
3.3. Способы решения задач с неполными данными
3.4. Способы включения дополнительной информации в методы реконструкции распределений плотности
3.5. Предлагаемый метод нахождения границ объекта
Выводы по главе
4. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
4.1. Количественные оценки результатов реконструкции
4.2. Погрешность реконструкции при использовании метода регуляризации Тихонова
4.3. Сходимость алгебраического алгоритма восстановления
4.4. Реконструкция распределений плотности по ограниченному числу
проекций
Выводы по главе
5. РЕКОНСТРУКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПЛОТНОСТИ ПО ДАННЫМ КОМПЬЮТЕРНОГО ТОМОГРАФА РКТ
5.1. Преобразование веерных проекционных данных в параллельные проекционные данные
5.2. Определение параметров рентгеновского компьютерного томографа РКТ
5.3. Предварительные преобразования значений интенсивности
5.4. Анализ результатов численных экспериментов
Выводы по главе
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

Актуальность темы. Компьютерная томография (КТ) применяется для исследования внутренней структуры материальных объектов. В диссертационной работе задача определения внутренней структуры объектов рассматривается на примере рентгеновской трансмиссионной КТ.
Рентгеновская трансмиссионная КТ применяется в медицине для исследования внутренних органов [12, 18], в промышленности для контроля качества изделий [17], в геофизике для исследования мантии Земли [22], в физике для диагностики плазмы [10, 22] и т.д. Известно, что промышленные рентгеновские компьютерные томографы позволяют обнаружить дефекты размером порядка 1 мкм, благодаря чему удается повысить качество и надежность выпускаемой продукции. Срок окупаемости затрат на промышленные рентгеновские томографы во многих случаях в 5-10 раз меньше срока окупаемости технологического оборудования. К достоинствам рентгеновской трансмиссионной КТ относятся высокая скорость и невысокая стоимость исследования. В медицинских приложениях конкурентом рентгеновской трансмиссионной КТ является магниторезонансная томография, достоинством которой является отсутствие вредных воздействий на организм пациента. Однако магниторезонансная томография обладает рядом недостатков по сравнению с рентгеновской трансмиссионной КТ. К таким недостаткам относятся: позднее выявление гематом, невозможность исследования при наличии металлических имплантантов, сложность обеспечения искусственной вентиляции легких, большее влияние движений больного на качество реконструкции, невозможность исследования при наличии клаустрофобии [12, 60, 66]. Эти недостатки приводят к тому, что в некоторых случаях, например, в нейрохирургической и неврологической практике, рентге-

Одним из методов регуляризации является метод регуляризации Тихонова [2, 19, 22—24, 58]. Пусть g е Я, тогда решением (3.1) будет такое / е Я, что
||д/т ~я2 +у||лГ -1Д^-4|Г +УЙ2Отсюда следует, что
7] =(Л*Л + у/Г1Л* =Л*(ЛЙ*+у7)-‘, и далее с использованием (3.3)
/У = 1?,(^‘+Г/)'1?-Итерационные методы [26, 47, 56, 57] также можно рассматривать как методы регуляризации. Предположим, что у нас есть итерационный метод решения уравнения (3.1) в виде
/■+|=д/'+е,д,
где / = 0,1 а Д и б, - непрерывные линейные операторы. Пусть /' сходится к д. Обозначим через /(у) индекс, для которого верно
/(у) -» оо.
у->0
Тогда оператор
т;/=/'(г)
представляет собой регуляризацию оператора Я*. Выбор параметра регуляризации в данном случае сводится к выбору количества итераций.
3.2. Использование метода регуляризации Тихонова для повышения устойчивости методов реконструкции
В предыдущем параграфе были рассмотрены общие принципы регуляризации. В данном параграфе мы получим модифицированные формулы обращения преобразования Радона, использующие метод регуляризации Тихонова, откуда будут следовать конкретные методы реконструкции распределений плотности, использующие данный метод