Применение фрактального анализа в задачах электротехники

• Автор: Балагула, Юрий Моисеевич
• Шифр специальности: 05.09.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 141 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ
1. ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ
1.1 Основные сведения из теории фракталов
1.2 Фрактальные временные ряды
1.2.1 Размерности кривых на плоскости
1.2.2 Фрактальное броуновское движение
1.2.3 Спектральная размерность
1.2.4 Приближённые методы вычисления размерности
1.3 Фрактальные временные ряды в электротехнике
1.4 Применение фрактального анализа для исследования частичных разрядов в изоляции
2. ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМА ДУГОВОЙ ПЕЧИ
2.1 Введение
2.1.1 Общие сведения о дуговой печи
2.1.2 Задача оптимизации режима
2.2 Измерения на дуговой печи
2.3 Фрактальный анализ динамических вольтамперных характеристик
3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ОЦЕНКИ ФЛИКЕРА НАПРЯЖЕНИЯ
3.1 Введение
3.1.1 Проблема оценки уровня фликера напряжения в системе электроснабжения
3.1.2 Стандартный фликерметр
3.2 Оценка фликера методами фрактального анализа

3.2.1 Оценка фликера с помощью модели фрактального броуновского движения
3.2.2 Оценка фликера с помощью спектральной размерности
3.2.3 Оценка фликера с помощью упрощённых фрактальных
коэффициентов
4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ РЕГИСТРАЦИИ ДВИГАТЕЛЬНОЙ АКТИВНОСТИ РЫБ
4.1 Введение
4.1.1 Проблема регистрации двигательной активности биологических объектов в задачах ЭМС
4.1.2 Электрометрический метод регистрации двигательной активности водных организмов
4.1.3. Регистрация двигательной активности рыб с использованием видеозаписи
4.2 Новый метод регистрации двигательной активности рыб на основе математического анализа видеозаписей
4.2.1 Постановка задачи и суть метода
4.2.2 Временные ряды двигательной активности
4.2.3 Характеристики двигательной активности
4.3 Фрактальные характеристики двигательной
активности
4.3.1 Фрактальный анализ двигательной активности
одиночной рыбы
4.3.2 Фрактальный анализ двигательной активности группы рыб
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Приложение

ВВЕДЕНИЕ
Фрактальный анализ, как метод исследования математических множеств различной природы, базируется на идеях фрактальной геометрии, разработанной Б. Мандельбротом. Начиная с 1973 года, когда была опубликована его основополагающая работа [1], методы фрактального анализа нашли широкое применение в различных областях физики, химии, биологии. Главное достижение теории фракталов состоит в том, что она даёт простые способы математического описания весьма сложных, но очень широко распространенных в природе явлений и объектов. Фрактальный анализ является столь же фундаментальным математическим аппаратом для описания физической реальности, как дифференциальные уравнения, тригонометрия или гармонический анализ. Однако, в связи с тем, что он был открыт относительно недавно, он еще не занял подобающего места в умах ученых и инженеров. Поэтому актуальной является работа, которая могла бы продемонстрировать спектр возможных применений фрактального анализа в электротехнике и ввести понятия теории фракталов в дискурс теоретической электротехники.
Развитие цифровой техники для сбора и обработки сигналов позволяет использовать для анализа процессов в электрических цепях не только традиционные числовые интегральные характеристики (такие как действующие и средние значения напряжений и токов), но получать и анализировать развёрнутые во времени данные об эволюции исследуемой электромагнитной системы (электрической цепи, электротехнологической установки и т.п.) в виде записей дискретных сигналов любых доступных для измерения электрических величин (переменных состояния). Следуя идеологии теории динамических систем, будем рассматривать такие записи как дискретные отображения траекторий электромагнитных процессов. Для ряда теоретических и практических задач представляется полезным анализ геометрических свойств этих траекторий. Этому посвящена работа [2], в
в системах слежения за качеством электроэнергии [3], индикатора наличия высокоомного замыкания ЛЭП на землю [25], датчика начала приступа в системах удаленного наблюдения за состоянием больных эпилепсией по энцефалограмме [26]. В подобных приложениях важна не точность определения размерности, а быстродействие соответствующего алгоритма. С этой точки зрения рассмотренные выше методы имеют слабости - метод Хёрста и «клеточный» алгоритм расчёта сравнительно сложные (требуют большого числа операций), а спектральный метод для корректной работы требует значительного размера временного окна. Поэтому были предложены упрощённые подходы к вычислению фрактальной размерности.
В [26] показано, что «длина» некоторой кривой на плоскости, определяемая как число точек ее растрового изображения, связана с ее фрактальной размерностью. Это видно из рис. 1.14 и 1.15: чем меньше спектральная размерность (или чем больше коэффициент ФБД), тем больше длина кривой, или, что то же самое, тем больше точек содержит изображение данной кривой. Связь фрактальной размерности и длины кривой проиллюстрирована также на рис. 1.13. Используя эту связь, можно предложить наиболее простой, хотя и приблизительный, практический метод оценки фрактальной размерности, основанный на том, что подсчёт числа точек изображения представляет собой упрощение метода разбиения на клетки, в котором тоже на каждом этапе разбиения производится подсчёт числа точек.
Пусть имеется дискретный временной ряд B(t) и необходимо оценить фрактальную размерность некоторого его участка длиной Т. Пусть это окно измерения длительностью Т содержит N отсчётов измеряемой переменной (например, напряжения). Для каждого участка можно вычислить «коэффициент длины» W, определяемый следующим образом: