Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях

• Автор: Графский, Олег Александрович
• Шифр специальности: 05.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 409 с. : ил.

1 Теоретико-конструктивные проблемы моделирования

мнимых элементов

1.1 Историко-литературный обзор введения в геометрию

мнимых элементов и способов их моделирования

1.1.1 Открытие геометрической интерпретации

комплексных чисел

1.1.2 Введение в геометрию мнимых элементов

и анализ способов их моделирования

1.2 Проблемы моделирования мнимых элементов в геометрии

1.2.1 Моделирование мнимых элементов в теории

алгебраических кривых и нелинейных преобразованиях

1.2.2 Целесообразность моделирования мнимых элементов
в начертательной геометрии и ее приложениях
1.3 Моделирование мнимых элементов в прикладных
технических задачах
1.3.1 Вопросы моделирования картины электрического поля
1.3.2 Анализ исследований повышения надежности
износостойких ионно-плазменных покрытий
Выводы по разделу 1 и постановка задач исследований
2 Теоретические основы моделирования и визуализации
мнимых элементов на плоскости
2.1 Предлагаемый метод моделирования мнимых элементов
2.1.1 Общие положения
2.1.2 Визуализация образов на полях с мнимыми
значениями координат точек

2.1.3 Структурная схема композиций исследуемых отображений
2.1.4 Система полей с действительными, мнимыми и квадратичными значениями координат точек
2.2 Характерные свойства исследуемых отображений
2.2.1 Определение инвариантных элементов, класса точек и
типа соответствий
2.2.2 Отображения координатных сеток
2.2.3 Структура полей и их классификация
2.3 Анализ исследуемых отображений с проективных позиций
* 2.3.1 Проективная модель квадратичного поля
2.3.2 Проективный подход к метрическому определению
соответственных точек на координатной оси классическими приемами построений
2.4 Графоаналитические исследования в разработке способов построения соответственных точек
2.4.1 Построение соответственных точек в прямом отображении
2.4.2 Исследование отображений в полярных координатах
2.4.3 Анализ построений соответственных точек в
прямом отображении
2.4.4 Построение соответственных точек в обратном
* отображении
Выводы по разделу
3 Отображения, преобразования и геометрический анализ
алгебраических кривых линий в плоскости
3.1 Метрическая группа преобразований в исследуемых
отображениях
3.1.1 Трансляция и вращение
3.1.2 Отражения

3.1.3 Гомотетия
3.2 Моделирование и визуализация мнимых элементов
в решении позиционных задач на плоскости
3.2.1 Способы построения мнимых точек пересечения
прямой линии с коникой
3.2.2 Построение мнимых точек при взаимном пересечении
коник
3.3 Исследуемые отображения в геометрическом анализе алгебраических кривых линий
'• 3.3.1 Взаимные превращения коник квадратичного поля
3.3.2 Геометрический анализ кривых линий четвертого и
высших порядков
3.3.3 Взаимное пересечение кривых линий четвертого порядка
3.4 Моделирование мнимых элементов в преобразовании Гирста
3.4.1 Моделирование мнимых -точек
3.4.2 Построение соответственных точек в эллиптической инволюции
Выводы по разделу
4 Исследования отображений на основе теории функций • комплексного переменного
4.1 Исследование и анализ функции отображения
4.1.1 Исследование аналитичности функции отображения
4.1.2 Анализ функции отображения
4.1.3 Построение соответственных точек в комплексной
плоскости
4.2 Функции комплексного переменного

4.2.1 Функция \?

2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ВИЗУАЛИЗАЦИИ МНИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ПЛОСКОСТИ
В соответствии со второй основной задачей исследований целью настоящего раздела является разработка теоретических основ моделирования и визуализации МЭ, базирующихся на теории взаимного отображения плоских полей с последующим определением характерных свойств рассматриваемых отображений и оценкой полученных результатов с проективных и метрических позиций.
2.1 Предлагаемый метод моделирования мнимых элементов
Предлагается графоаналитический метод моделирования, позволяющий производить визуализацию МЭ на абстрактных координатных полях. Поскольку аналитические выражения в виде уравнений геометрических объектов и их законов преобразования строятся на основе системы координат, то в первую очередь необходимо рассмотреть именно координатную ось.
2.1.1 Общие положения
Известно, что числовая ось рассматривается как геометрическая интерпретация упорядоченной последовательности множества действительных чисел [133, 168]. В аналитической геометрии ее представляют как координатную ось, в начертательной геометрии наряду с этим - как ось проекций. С точки зрения проективной геометрии числовую ось отождествляют с прямой линией, которая является формой первой ступени (ряд точек), и поэтому она может рассматриваться как однопараметрическое со1 множество точек [82, 93, 199]. Каждая точка такой прямой, например А е Ох, имеет действительную (точечную) координату.