Нелинейная динамика поверхности раздела диэлектрических жидкостей в электрическом поле

• Автор: Кочурин, Евгений Александрович
• Шифр специальности: 01.04.13
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 138 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Нелинейная динамика поверхности жидкости в электрическом поле: обзор литературы

1.1 Результаты экспериментальных исследований

1.2 Результаты теоретических исследований

1.3 Методы теоретического описания нелинейной динамики поверхности жидкости

1.4 Выводы к Главе

Глава 2. Электрогидродинамическая неустойчивость поверхности раздела жидкостей

2.1 Введение

2.2 Исходные уравнения

2.3 Слабо-нелинейный анадиз
2.4 Предварительный анализ
2.5 Динамика поверхности раздела для Ае = А
2.6 Динамика поверхности раздела для Ар = —А
2.7 Формирование особенностей в общем случае
2.8 Выводы к Главе
Глава 3. Нелинейная динамика поверхности раздела жидкостей в вертикальном электрическом и гравитационном полях
3.1 Введение
3.2 Уравнения движения
3.3 Редукция уравнений движения

3.4 Устойчивость редукции
3.5 Уравнение лаиласовского роста
3.6 Анализ поведения поверхности
3.7 Выводы к Главе
Глава 4. Нелинейные волны на поверхности раздела жидкостей в горизонтальном электрическом поле
4.1 Введение
4.2 Исходные уравнения
4.3 Слабо-нелинейные волны на поверхности
4.4 Нелинейные волны в режиме нейтральной устойчивости
4.5 Редукция уравнений движения
4.6 Нелинейные волны в отсутствии разрыва скоростей на границе
4.7 Выводы к Главе
Глава 5. Взаимодействие сильно-нелинейных волн на свободной границе непроводящей жидкости в горизонтальном электрическом поле
5.1 Введение
5.2 Исходные уравнения движения
5.3 Уравнения в конформных переменных
5.4 Упругое взаимодействие волн
5.5 Численный алгоритм
5.6 Результаты численного моделирования
5.6.1 Сравнение с точным решением
5.6.2 Взаимодействие встречных локализованных волн
5.6.3 Взаимодействие периодических волн
5.7 Выводы к Главе
Заключение
Список литературы

Введение
Актуальность темы исследования. Теоретическое описание динамики поверхности жидкости — классическая, однако во многом неразрешенная задача, основная трудность которой заключается в существенной нелинейности уравнений движения. Хорошо известно, что достаточно сильное внешнее электрическое поле, направленное по нормали к свободной поверхности диэлектрической жидкости, либо поверхности раздела двух жидкостей, приводит к развитию апериодической неустойчивости границы. Впервые линейный анализ задачи был проведен Дж. Мелчером и Дж. Тейлором в работах [1,2]. Экспоненциальный рост амплитуды возмущений границы на начальной (линейной) стадии электрогидродинамиче-ской неустойчивости неизбежно приводит к тому, что возрастающую роль начинают играть нелинейные эффекты. Общеизвестно также, что внешнее горизонтальное электрическое поле оказывает стабилизирующее воздействие на свободную поверхность жидкого диэлектрика, а также па поверхность раздела диэлектрических жидкостей [3,4]. На границе жидкостей в горизонтальном поле могут распространяться нелинейные волны, скорость которых пропорциональна напряженности внешнего электрического поля. С прикладной точки зрения актуальность настоящего диссертационного исследования обуславливается возможностью управления свободными и контактными границами раздела жидкостей внешним электрическим полем.
Одним из наиболее распространенных типов гидродинамических неустойчивостей является неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, которая возникает в случае, если две контактирующие среды имеют достаточную разность скоростей. Для множества приложений неустойчивость Кельвина-Гельмгольца является нежелательным эффектом. Стабилизацию границы жидкостей, испытывающей данную неустойчивость, может обеспечить электрическое поле, направленное по касательной к невозмущенной границе раздела. В связи с этим, перспективным также является исследование влияния электрического поля на развитие раз-

Для этого необходимо выразить входящие в (2.7) функции через канонические переменные. Воспользуемся тем, что для гармонических функций, затухающих при г —> =роо, справедливо:
(±п)'1кп
Ф^~ч = 2^ Д--- Фх,2 |г—о . ^(/>1,2 |г=о = ±к 01,2|г=о ,

где к — двумерный интегральный оператор с ядром, фурье-образ которого равен модулю волнового вектора, т.е.
/. ктх+ькуу __ ^^2 ^2 _ £ктх+1куу
где кх и ку — соответствующие проекции волнового вектора. Используя эти соотношения для потенциалов уф2, Ф1.2 и их производных, можно найти необходимые зависимости из граничных условий (2.3) п (2.8). В частности, для потенциалов ф$, и на поверхности раздела получим:
Фь2г=п = “ Ае(1 ~ к(фп) + У _1_(рУ_1_й) | + О (а3), (2.9)
Ф1>2|^ = ±^~-ф + (1+АН1^-1 ^(т,кф) + У±(77Ух^)] + 0(а3), (2.10)
где А = (Р1 - р2)/(р 1 + Рг) - число Атвуда (0 < А < 1), а АЕ = (ед - £2)/((п + е2) - его аналог для диэлектрических проницаемостей. При выводе соотношений (2.9) и (2.10), мы ограничились учетом квадратичных нелинейностей.
Подставляя (2.9) и (2.10), а также разложения для нормальных производных потенциалов в (2.7), получаем после несложных преобразований гамильтониан системы с точностью до кубических слагаемых в подынтегральном выражении:
Я = — J [фкф — Ат) ^(кф)2 — (7±ф)2^(1хс1у
- 1 J [ркг] + Ае'п ((кг))2 - (У±?7)2^с1х(1у.
Взяв соответствующие вариационные производные, получим из (2.5) искомые уравнения движения:
^ - а^=((^)2 - (у±^)2)
+а^ ((Ь;)2 -(у±г,)2)+аь +Ух(,/у±гг))+°(аз)’ (2-и)