Изучение динамики и кинетики классических и "вихревых" частиц

• Автор: Романов, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.04.08
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 57 с. : ил.

1 Эксперимент с газом невзаимодействующих частиц

1.1 Газ невзаимодействующих частиц

1.2 Описание динамики системы дисков с помощью случайных матриц

2 Хольцмарковская статистика диполей.

Формулы Лоренца и Ланжевена

2.1 Классические задачи

2.2 Трехмерные диполи

2.3 Магнитные моменты, распределенные по плоскости

3 Субдиффузия в сложных гребешковых структурах и гирляндах

3.1 Субдиффузионный транспорт

3.2 Гребешковая структура

3.3 Сложная гребешковая структура
3.4 Типичные задачи
3.5 Гирлянды
4 Диполыюе приближение в динамике трех вихрей
4.1 Общие вопросы вихревой динамики
4.2 Постановка задачи
4.3 Разложение по малому параметру 1/Я
5 Квантовая динамика вихрей
5.1 Квантование вихревых нитей
5.2 Изотропные вихри
5.3 Анизотропные вихри
Заключение

В данной работе представлены задачи по исследованию систем с большим количеством частиц; проведено сравнение модели случайно распределенных диполей для трех и двумерного случая с классическими задачами Лоренца и Ланжевена; дан точный вывод уравнений переноса в разветвленных гребеш-ковых структурах; решены задачи по классической и квантовой динамики точечных вихрей. Проведенные исследования являются актуальными и новыми во многих направлениях физики.
Исследование динамики и статистики различного рода частиц широко распространено в разных областях физики. В основу исследования таких систем часто закладывают базовые законы взаимодействия между частицами. Простейшие модели — это хорошо известные биллиардные системы, где взаимодействие происходит между шарами или дисками [1, 2, 3]. В более сложных случаях взаимодействие носит не локальный характер, например, является кулоновским. Для слабоетолкновительной плазмы (астрофизической или лабораторной плазмы низкой плотности) необходимо знать, за какие времена ее компоненты релаксируют к равновесному состоянию [4]. Газ косвенно взаимодействующих частиц (см.ниже) может являться аналогом такой плазмы и использоваться для приближенного нахождения времен этой релаксации. Такая модель позволяет детально отслеживать динамику системы, что очень важно и для практических применений, и для понимания общих закономерностей. В работе также рассматривается система непосредственно взаимодействующих частиц (дисков). В этом случае соударения моделируются с помощью случайных матриц. Предлагается алгоритм для описания динамики в пространстве скоростей. Эта модель может быть применима уже для сильиостолкновителыюй плазмы.
Вопросами распределения полей от случайно расположенных источников интересуются давно, и данной тематике посвящено много работ, см.напр.,[5, б, 7, 8]. В плазме крайне важную роль играет распределение электрических и магнитных полей. Источниками таковых являются как обычные заряды, так и, например, вихревые структуры с дипольным распределением поля, поэтому рассматриваемая задача случайно распределенных диполей имеет непосредственное отношение к плазме. Метод, применяемый в работе, позволяет находить поле от произвольных точечных источников. В данной диссертации исследуются электрические Е и магнитные Н поля от случайно распределенных электрических диполей и магнитных моментов и проводится сравнение результатов с классическими формулами Лоренца и Ланжевена [9]. Для изучения статистических свойств задачи применяется метод Хольцмар-ка. В рамках модели диполей в трехмерном пространстве точно вычислена добавка к “действующему” полю. При выводе классической формулы Ланже-

вена для намагниченности рассматривается термодинамически равновесная система. В данной работе исследуется также представляющая практических интерес неравновесная конфигурация часто встречающаяся в реальных объектах. В модели, рассмотренной в диссертации, магнитные моменты (спины) случайном образом распределены по плоскости, каждый спин направлен по перпендикуляру к ней. Оказывается, намагниченность плоскости спинов во внешнем магнитном поле при определенных условиях не зависит от концентрации спинов, что качественно отличается от формулы Ланжевена.
Одним из актуальных вопросов в физике является исследование переноса в сложных средах — кластерах и полимерах [10, 11, 12]. Плазма во внешнем магнитном поле устроена очень сложно. В такой плазме перенос зачастую становится аномальным, и его особенности не могут уже быть описаны в рамках обычной диффузионной модели даже с модифицированным коэффициентом диффузии. Для правильного теоретического анализа задачи необходим аппарат дробных производных. Примером работ, с успехом использующих язык дробных производных, служат статьи по транспорту в структурах с переплетенным магнитным полем [13], работа по астрофизической плазме [14]. В данной диссертации рассматриваются сложные грсбешковые структуры (СГС), построенные из простой гребешковой структуры (ГС) [15, 16, 17] последовательной заменой отростков на структуры другого уровня. Эволюция суммарной концентрации переносимой субстанции вдоль хребта такой структуры носит субдиффузионный характер с дробной производной по времени [18, 19]. Также изучались модельные структуры, у которых на оси хребта находятся двумерные диски или трехмерные шары. Исследованные в работе модели СГС и гирлянд могут быть использованы для качественного анализа транспорта в плазме. Уравнения для транспорта частиц в таких структурах полностью покрывают возможный интервал существования субдиффузион-ного режима, что, несомненно, важно для нахождения скейлингов и решения конкретных задач.
Вихревые структуры являются неотъемлемой частью плазмы и плазменноподобных сред во всех физически возможных диапазонах существования, начиная с плазмы твердого тела и заканчивая термоядерной и даже кварк-глюонной плазмой. Вихри в плазме определяют ее устойчивость, динамику, процессы транспорта и т.п. В диссертации решена задача о взаимной динамике дипольного вихря (близкая вихревая пара с противоположными интенсивностями) и точечного вихря для редуцированного гамильтониана. Найдены начальные параметры, для которых дипольный вихрь не распадается на отдельные вихри, и выписанные уравнения, описывающие движения диполя, полностью проинтегрированы. Процесс распада дипольных пар важен для физики плазмы, так как вихри в плазме часто встречаются именно в

5.3 Анизотропные вихри
Функция тока не обязательно изотропна. При рассмотрении слоистых сверхпроводников, типа ВТСП керамик [22], оказывается, что вихрь наклонен под углом к плоскостям и создает на далеких по сравнению с лондоновской длиной расстояниях поле скоростей с функцией тока вида:

2 О Xі -у~
(5.17)
(X2 + у2)2 ’
Функция (5.17) имеет особенность в нуле. На самом деле при точном переходе из фурье представления для токовой функции, которое определено для всех к, оказывается, что линии тока около нуля — это замкнутые кривые (см.рис.5.2), как и должно быть для вихря, а на далеких расстояниях можно пользоваться формулой (5.17). Проследим как здесь проявляет себя кванРис. 5.2: Линии тока вихря в слоистом сверхпроводнике.
товая динамика. Вводя операторы координаты и импульса (5.10) получим симметризованный оператор гамильтона:

«2Ч + Л«2-Р2>
(5,18)
Уравнение Шредингера для такого гамильтониана уже так просто решить не получится. Нам нужно решить стационарную задачу
Ну? = Еір (5.19)
Для этой задачи известны собственные значения энергии из правила квантования Бора-Зоммерфельда:
£ pdq = 2пЬ (к +
(5.20)
где интеграл берется вдоль линии уровня ф = Нк. Так как фазовое пространство вихря (у, у) совпадает с конфигурационным (т,у), интеграл (5.20) есть просто площадь охватываемая траекторией. Площадь равна (см. также [55]):
Бк= I уйх = = 2тгН (^к + 0 , (5.21)
нк=А
(х2+у2)