Разработка элементов параметрической теории определения динамических характеристик протяженных напряженных конструкций

• Автор: Петров, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.04.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 102 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

1. Обзор основных теоретических представлений о колебаниях струны

1.1. Линейная теория колебания струны

1.1.1. Основные положения

1.1.2. Недостатки линейной теории колебания струны

1.2. Нелинейная теория колебаний струны

1.2.1. Нелинейное уравнение поперечных колебаний струны

1.2.2. Уравнения колебаний струны в трехмерном пространстве

1.2.3. Уравнение Кирхгофа

1.3. Параметрические колебания струны
1.3.1. ОпытМельде
1.3.2. Модуляция натяжения при колебании струны
1.3.3. Возбуждение пространственных колебаний струны
1.4. Заключение к 1-й главе
2. Параметрическая теория колебания струны
2.1. О преобразованиях сигнала в линейных системах
2.2. Основы параметрической теории колебаний систем с распределенными параметрами
2.3. Аппроксимация нелинейного уравнения колебаний струны параметрическим уравнением
2.4. Заключение ко второй главе
3. Численное моделирование параметрических и нелинейных колебаний струны
3.1. Задача о щипковом возбуждении струны
3.2. Влияние конечной жесткости опор
3.3. Вынужденные колебания струны
3.4. Заключение к 3-й главе
4. Экспериментальные исследования параметрических явлений при колебаниях струны
4.1. Свободные колебания
4.1.1. Предварительные замечания
4.1.2. Результаты измерений
4.2. Вынужденные колебания
4.2.1. Колебания струны под действием гармонической вынуждающей силы, приложенной в произвольной точке. Классическое решение задачи79
4.2.2. Параметрические явления при вынужденных колебаниях струны
4.2.3. Экспериментальные результаты
4.3. Удвоение периода при вынужденных колебаниях струны
4.4. Заключение к 4-й главе
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию нелинейных колебаний протяженных напряженных систем. Под последними имеются в виду механические колебательные системы с распределенными, параметрами; находящиеся; под предварительным напряжением (струна, ' мембрана). Суть, разработанного подхода заключается- в линеаризации нелинейных уравнений- в частных, производных, описывающих динамику нелинейных колебательных, систем, уравнениями с переменными; коэффициентами- (параметрическими; уравнениями); Разработанная теория; применяется-к моделированию колебании струны, представляющей собой самый простой; пример: распределенной системы
Актуальность исследования. При расчете и- проектировании акустических приборов и систем применяется подход, , суть, которого заключается; в том, что сложную механическую* колебательную*- систему разделяют на , простые подсистемы; (звенья);. При этом; считается, что; характеристики, системы, определяются; совокупностью; характеристик входящих в нее звеньев. Отсюда следует требование к, линейности подсистем. Если, какой-либо- элемент акустической, системы представляет собой распределенную-механическую колебательную - систему (например, диафрагма-микрофона; диффузор; громкоговорителя- представляющие; собой оболочки, вращения излучающие элементы; конструкций; представляющие; собой стержни:, пластины или оболочки), то часто она описывается нелинейными уравнениями в частных производных. Это-приводит к проблеме определения таких динамических характеристик конструкций, при которых нелинейные явления; пренебрежимо малы. Таким образом, актуальна- задача, линеаризации нелинейных колебательных систем с распределенными-параметрами.
Кроме того, за* последние годы, возросло, внимание к вопросам компьютерного синтеза звучаний; музыкальных инструментов: Решение такого-

где А/ - максимальное значение удлинения струны в процессе колебания камертона.
Подставляя (1.85) в выражение квадрата скорости распространения поперечных волн

получим параметрическое волновое уравнение
д2у а2
= С2(і + //СОзО?)---, ді2 К ’д%2

-'о'о
(1.86)
(1.87)
Представляя решение уравнения (1.86) в виде ряда

получаем уравнения для qn (?) (точками обозначены производные по времени):
дп+о>2п(1 + цсо5П1)Яп=0, (1.88)
где юп - частоты собственных колебаний струны:

7тсп
(1.89)
Уравнение (1.88) есть уравнение Матье. Условия, когда его решения неустойчивы (возникает параметрический резонанс), показаны на рисунке 1.5. На практике проще всего получить параметрический резонанс в первой зоне возбуждения, ширина которой равна [41]:
.2 Л

ДО « 2т.

(1.90)
То есть при ц —»0 частота параметрического возбуждения стремится к удвоенной собственной частоте системы, как и демонстрирует опыт Мельде.