Аналитическое описание трехмерного оптического поля в нелинейных однородных диспергирующих средах на основе скалярных волновых уравнений с кубической нелинейностью

• Автор: Алименков, Иван Васильевич
• Шифр специальности: 01.04.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 97 с. : ил.

Глава 1 Нелинейные электромагнитные волны
1.1 Нелинейные уравнения и уединенные волны
1.2 Трехмерные стационарное и нестационарное НУШ в электромагнитных системах
1.3 Механизмы возникновения нелинейной зависимости показателя преломления от напряженности электрического поля
1.4 Одномерное НУШ
Глава 2 Трехмерное НУШ с неполным оператором Лапласа
2.1 Точные решения стационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Положительный коэффициент нелинейности
2.2 Точные решения нестационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Положительный коэффициент нелинейности
2.3 Точные решения стационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Отрицательный коэффициент нелинейности
2.4 Точные решения нестационарного НУШ с помощью полных интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Отрицательный коэффициент нелинейности
2.5 Решения НУШ с помощью особых'интегралов однородных линейных уравнений первого порядка. Асимптотические и численные решения
Глава 3 Трехмерное НУШ с полным оператором Лапласа
3.1 Стационарные решения с положительным коэффициентом нелинейности
3.2 Нестационарные решения с положительным коэффициентом нелинейности
3.3 Нестационарные решения с отрицательным коэффициентом нелинейности
3.4 Стационарные решения с отрицательным коэффициентом нелинейности
3.5 Асимптотические решения НУШ с полным оператором Лапласа
Глава 4 Нелинейное волновое уравнение для оптического излучения
4.1 Решения нелинейного волнового уравнения с положительным коэффициентом нелинейности
4.2 Решения нелинейного волнового уравнения с отрицательным коэффициентом нелинейности
4.3 Стационарные решения нелинейного волнового уравнения
Заключение
Список литературы

Актуальность темы. Практически всякие колебания и волны модулированы - амплитуда, фаза, частота и даже форма огибающей могут медленно меняться. Модуляция может быть связана с воздействием внешних сил или полей, а может возникать в результате развития разного рода неустойчивостей. Поскольку только модулированные волны ммут переносить информацию, теория распространения таких волн имеет важное прикладное значение. Основным уравнением теории модулированных волн является так называемое нелинейное уравнение Шредингера (НУШ). НУШ описывает распространение нелинейных ленгмюровских волн, волн на глубокой воде; волны в линиях передачи, акустические волны в жидкостях с пузырьками и, прежде всего, распространение оптического излучения в нелинейных средах. Последний класс приложений стал особенно актуальным с развитием лазерных технологий, поскольку интенсивность лазерного излучения обычно настолько велика, что возникает необходимость учитывать нелинейную часть восприимчивости среды. Кроме того, в последнее время возрос интерес к исследованию распространения электромагнитных волн в пространственно-неоднородных средах с высокой эффективностью нелинейных преобразований (гигантские нелинейности), таких как допированные оптические волокна и нематические жидкие кристаллы с добавлением примесей.
Более общей моделью, чем НУШ, описывающей распространение электромагнитных волн в нелинейных средах, является нелинейное волновое уравнение. Нелинейные явления и эффекты, связанные с модуляцией волн, очень разнообразны. Это - самофокусировка волновых пучков, самосжатие волновых пакетов, обращение волнового фронта и другие. К настоящему времени подробно разработана двумерная теория таких уравнений. Она основана на методе обратной задачи теории рассеяния (МОЗР). Однако трехмерные НУШ и нелинейное волновое уравнение не обладают свойством Пенлеве и не могут быть решены с использованием МОЗР, в то время как большинство

реальных систем требуют описания в трех пространственных измерениях. Но, на сегодняшний день не существует ни одного систематического метода нахождения трехмерных решений. Единичные точные трехмерные решения некоторых сложных систем получены лишь благодаря изощренным приемам, приводящим к упрощению полевых уравнений, только для данных систем. Для подавляющего большинства реальных моделей приходится изучать общие свойства решений, не решая полевых уравнений.
В силу сказанного, актуальной является задача описания эволюции электромагнитного поля большой интенсивности в нелинейных средах в трехмерном пространстве.
Цель работы. Определение трехмерной структуры линейно поляризованного оптического поля в диспергирующих средах с кубической нелинейностью.
Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Провести аналитическое описание стационарного и нестационарного оптического поля в трех пространственных переменных на основе НУШ и нелинейного волнового уравнения с кубической нелинейностью.
2. Получить точные аналитические решения НУШ для линейно поляризованного оптического поля в однородном изотропном диэлектрике для стационарного и нестационарного случаев
3. Получить точные аналитические решения нелинейного волнового уравнения, описывающего распространение линейно поляризованного оптического излучения в однородном изотропном диэлектрике.
4. Для решения поставленных задач свести задачу о решении НУШ и нелинейного волнового уравнения к решению двух уравнений, одно из которых будет линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка и найти его полные или особые интегралы. Свести оставшееся нелинейное уравнение в частных производных второго порядка к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка.
Очевидно, что решения имеют смысл при
ЯІ+ЯІ „ ч) + ч]
у<— и д<
2 К 2к0
2. Для нестационарного уравнения
ік,
ґдЕ0 | 1 дЕ,' дх и ді
+^;л+'7И£.1Ч=°
в случае ц> О получено точное трехмерное решение
Е0(г,і)
± + Ч2У + ЧІ)/Ч ехр{ідг}

2кйЧх+Ягу+ч1
с ~»г+»Г( 0
где V - вектор скорости с проекциями:
у = (м; щу /к0щ2 /к0). Для случая г < О
Ео=±<
~2к0дх -д)-д2

-2 к0дл -д-д)
2 Ф1 +Ъ])
Ь{г -г0- VI)
ехр{ідг} ,
причем дх <
Чу +Чг
2к„
3. Для уравнения

ПК^+К.Е, + ЧЧ'!я,=о
найдены асимптотические решения при больших значениях г :