Анализ и синтез в микрооптике на основе метода конечных элементов в рамках электромагнитной теории

• Автор: Нестеренко, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 116 с. : ил; 109-114 см

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
В МИКРООПТИКЕ
1.1. Физическая постановка задачи
1.2. Метод конечных элементов для решения уравнения Гельмгольца.
1.3. Метод граничных элементов для решения уравнения Г ельмгольца
1.4. Объединенный метод на основе метода конечных элементов Галеркина (МКЭГ) и метода граничных элементов (МГЭ)
1.5. Сравнение с аналитическим решением
1.6. Выводы по главе
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОХОЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ РЕФРАКЦИОННЫЕ И ДИФРАКЦИОННЫЕ КОРОТКОФОКУСНЫЕ МИКРОЛИНЗЫ
2.1. Постановка задачи
2.2. Дифракция плоской волны на» рефракционных и дифракционных линзах.......................... ’..Г
2.3. Сравнение дифракции света на микролинзах в свободном пространстве и в волноводе с идеально-отражающими стенками
2.4. Выводы по главе
ГЛАВА 3. СИНТЕЗ ДИФРАКЦИОННЫХ ОПТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
ГРАДИЕНТНЫМ МЕТОДОМ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ ОБЪЕДИНЕННОГО МЕТОДА МКЭГ-МГЭ
3.1. Градиентный алгоритм расчета параметров элементов микрооптики
3.2. Численное моделирование и оптимизация рельефа бинарных микролинз
3.3. Выводы по главе
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследования. Возрастающие потребности в анализе сложных задач распространения света и быстрое развитие вычислительной техники привели к разработке численных методов для расчета дифракции лазерного излучения на неоднородностях среды и элементах микрооптики.
В опто- и микроэлектронике используются сложные оптические устройства с размерами порядка длины волны падающего света, работа которых описывается нетривиальными физическими эффектами, такими как множественное рассеяние на периодических структурах (дифракционные решетки), рассеяние и дифракция на непериодических структурах (дифракционные оптические элементы (ДОЭ), элементы Брегга), дисперсия и нелинейные преобразования лазерных импульсов. Действие этих элементов не может быть предсказано на основе геометрической оптики или скалярной теории дифракции, и требуется изучение распространения световых волн через них с помощью векторной модели дифракции. Также использование векторной модели дифракции требуется, когда представляющая интерес область расчета расположена вблизи или внутри оптического элемента. Все это создает большую потребность в эффективных численных подходах для моделирования волнового распространения света, по возможности с учетом дисперсии, рассеяния, сложных эффектов интерференции, нелинейного самовозбуждения и т.п. Хотя аналитические решения векторной задачи дифракции могут быть получены для некоторых периодических структур [65], а также для избранных непериодических объектов (сфера, полуплоскость, цилиндр) [45, 76], для других апериодических структур граничные условия на электромагнитное поле делают аналитическое решение невозможным.
Таким образом, для задач моделирования дифракции света на элементах с размерами порядка длины волны свет должен рассматриваться как электромагнитное

излучение, что позволяет перенести множество разработанных методов электромагнитного моделирования СВЧ и радиоволн на область оптического моделирования.
Большинство численных методов (метод моментов, метод конечных разностей, метод граничных элементов, метод конечных элементов и др.) пришли в оптику из других областей науки, и до сих пор не было разработано ни одного универсального подхода, позволяющего покрыть большой ряд оптических (и электромагнитных) задач. В общем, обычно требуется объединять использование двух или трех методов для вычисления широкого круга задач, что приводит к развитию различных объединенных методов моделирования [25,31, 32].
Основная часть численных методов моделирования дифракции могут классифицироваться как дифференциальные [26], разностные [37, 47], интегральные [1, 6, 42, 43, 44], вариационные [8, 20, 66, 78], дискретных источников [5], лучевые [39].
Интегральные методы основаны на применении интегральных теорем Грина, в которых используются фундаментальные решения задачи (функции Грина). Популярность интегральных методов основывается на их способности решать неограниченные полевые задачи, т.к. условие излучения Зоммерфельда безусловно удовлетворяется в формулировке задачи. Более того, интегральные методы требуют знания поля только на поверхности дифракционного элемента, а не полного поля в пространстве, что минимизирует число неизвестных. В работах [29, 38] представлен объединенный метод на основе метода граничных элементов. Паулюс и Мартин [27] разработали метод расчета дифракции на слоях с неоднородностью на основе интегральных уравнений, связанный с численным решением тензора Грина. Недостатки таких методов следующие. Они приводят к полностью заполненным матрицам и, следовательно, требуют большего объема компьютерной памяти и длительное время вычисления. Также они накладывают необходимость рассмотрения границы применения методов по физической границе рассеивателя. Если неоднородность имеет нетривиальную форму, то это приводит к увеличению числа неизвестных.
такого обобщенного решения щ. Если при этом окажется, что щ е Ф(То), то, в силу соотношения (и, у) Lo = (Lqu, у), получаем равенство
(Lom + Кщ ~f у) = о.
А так как FLq плотно в F, то делаем заключение, что щ удовлетворяет исходному уравнению (1.78).
Как и в предыдущем пункте, введем последовательность конечномерных
подпространствFhczFM сFhl а ... с FL (h > hx> h2> ...) с базисами {ф/’}^ . Тогда приближение по Галёркину находится в виде
После вычисления коэффициентов {а,) приближенное решение строится по
ние: если уравнение (1.78) имеет не более одного обобщенного решения, последовательность {К/,} полна в Еіо и оператор Ь0]К вполне непрерывен в Р1й, то после-
(1.81)

причем, коэффициенты а, выбираются так, чтобы и удовлетворяла (1.80) при
любых у є Pi,. Так как у eF), можно представить в виде
(1.82)
s 1,..., N/„
которую можно записать также в форме
А a = g,
(1.83)

формуле (1.81). Относительно сходимости it справедливо следующее утвержде-
довательные приближения и, получаемые методом Галёркина, сходятся в Fb *