Развитие и обобщение теорий R-функций и атомарных функций в задачах электродинамики

• Автор: Басараб, Михаил Алексеевич
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 289 с. : ил.

1. Я-функции и атомарные функции в задачах аппроксимации
и численного анализа
1.1. Основные понятия теории Я-функций. Структуры решения краевых задач ..'
1.2. Почти К-функции. Сингулярные Я-функции.
Я-функции в полярных координатах
1.3. Уравнения границ фрактальных областей
1.4. Атомарные функции и новые методы аппроксимации
на их основе
Выводы
2. Алгебрологические методы и алгоритмы решения внутренних краевых задач электродинамики
2.1. Постановки краевых задач и классический вариант
метода Я-функций
2.2. Глобальный базис. Полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева
2.3. Локальный базис. Структурный метод на основе аппроксимации функции области финитными функциями
2.4. Совместное использование обобщенного метода Шварца
и метода Я-функций
2.5. Расчет электромагнитных полей в областях
фрактальной геометрии
Выводы

3. Применение метода R-функций к задачам излучения и дифракции электромагнитных волн
3.1. Излучение из открытого конца регулярного волновода
произвольного поперечного сечения
3.2. Метод R-функций и обобщенный метод собственных колебаний для решения скалярных задач дифракции
3.3. R-функции и построение вспомогательных контуров метода разложения по неортогональным функциям
Выводы
4. Атомарные функции и R-функции в задачах
анализа и синтеза линейных антенн
4.1. Обобщенные ряды Котельникова, полиномы Левитана и ядра Фейера в задачах теории антенн
4.2. Аппроксимация атомарными функциями fupn(x) в задаче синтеза линейного излучателя
4 4.3. Синтез безлепестковых и секторных диаграмм направленности
4.4. Конструирование самоподобных антенных решеток
Выводы
5. Алгебрологические методы в задачах анализа и синтеза
плоских излучателей
5.1. Постановка задачи анализа и синтеза антенн
с плоским раскрывом
5.2. Амплитудно-фазовый синтез антенн с плоским раскрывом
5.3. R-функции и соотношение неопределенности в теории антенн
Выводы
Заключение
Литература
Приложения
Разработка численных и численно-аналитических методов решения задач электродинамики имеет большое теоретическое и практическое значение, в частности, при проектировании антенн и устройств СВЧ. В настоящее время, в связи с развитием вычислительной техники, появились широкие возможности моделирования радиофизических процессов в телах сложной формы. Существующие вычислительные методы можно условно разбить на три класса: аналитические, численные и численноаналитические. Первые пригодны для решения задач в узком классе областей канонической формы (метод Фурье в системах координат с разделяющимися переменными); вторые универсальны, но дают решение в виде набора чисел, неудобном при качественном анализе результатов. Кроме того, численным методам свойственно накопление погрешности вследствие того, что в общем случае приближения к точному решению априори не удовлетворяют ни дифференциальному уравнению, ни краевым условиям. Этих недостатков можно избежать, используя численно-аналитические методы. Особое распространение получили вариационные и проекционные методы решения краевых задач (Ритца, Бубнова-Галеркина, коллокации, наименьших квадратов и др).
Благодаря своей простоте, гибкости и универсальности, метод Л-функций (структурный метод), предложенный В.Л. Рвачевым в 60-х гг. XX в., занимает особое место в ряду других численно-аналитических методов решения краевых задач. Его основной особенностью является использование идей алгебры логики в комбинации с известными вариационными и проекционными методами. Разработка метода Л-функций применительно к внутренним и внешним задачам электродинамики (расчет полей в волноводах и резонаторах, включая сверхпроводящие, дифракция электромагнитных волн на объектах сложной формы) выполнялась в работах В.Ф. Кравченко. Определенный вклад в развитие этого направления внесли также другие исследователи. Вместе с тем, многие вопросы использования теории Л-функций в радиофизических приложениях до сих пор

не является симметричной относительно оси ординат, а направление трансляции произвольно, подробно рассмотрены в [30].
Пусть предфрактал нулевого уровня ковра Серпинского описывается уравнением
где к = 1,2 является уравнением предфрактала к-то уровня.
Утверждение 1.1. Уравнение (1.3.5) является нормализованным.
Действительно, если уравнение со(х,у) = 0 нормализовано, то нормализованным будет и уравнение а~'со(ах,ау) = 0. Применение 11-операций системы 910 к нормализованным уравнениям сохраняет свойство нормализованное. Доказательство утверждения следует из того, что уравнение
(1.3.4) для а>0(х,у) нормализовано.
Выражение (1.3.5) неудобно в вычислительном плане, так как с каждым последующим шагом дополнительно требует вычисления Ъ2к операций Я-дизъюнкции и одной Я-конъюнкции. Поэтому целесообразно воспользоваться свойством симметрии трансляционного типа вдоль осей абсцисс и ординат одновременно. В результате получается следующая рекуррентная формула:
(1.3.4)
Тогда предфрактал 1-го уровня определяется Я-конъюнкцией <° (х, У) = Щ (*. У) ло С3"' <°о (Зх> 3Т)] = 0.
Очевидно, выражение
(1.3.5)
(1.3.6)
где а>0(х,у) определяется из (1.3.4), а