Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом

• Автор: Ануфриева, Мария Вячеславовна
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 103 с. : ил.

1 Исследование универсальных свойств порога внешней синхронизации хаотических систем

1.1 Синхронизация хаоса

1.2 Способы определения порога синхронизации

1.3 Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Лоренца
1.4 Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Ресслера
1.5 Выводы
2 “Странный нехаотический аттрактор” в трехмерной автономной дифференциальной системе

2.1 Странный нехаотический аттрактор

2.2 Основные свойства “странного нехаотического аттрактора”

2.3 Некоторые дополнительные характеристики “странного нехаотического аттрактора”

2.4 Выводы

3 Стохастический резонанс в бистабильной системе под воздействием хаотического сигнала
3.1 Стохастический резонанс
3.2 Постановка задачи
3.3 Бистабильный осциллятор под гармоническим воздействием
3.4 Бистабильный осциллятор под воздействием хаотического сигнала
3.5 Выводы
Заключение
Литература
Благодарности
Математическая теория динамического хаоса в нелинейных системах, базирующаяся на аксиомах и строго доказанных теоремах, имеет дело только с гиперболическими системами [1]- [7]. Гиперболичность подразумевает, что все траектории в фазовом пространстве динамической системы имеют седловой тип, с хорошо определенными подпространствами устойчивых и неустойчивых направлений в окрестности траектории. Гиперболические системы диссипативного типа, в которых динамика сопровождается сжатием фазового объема, демонстрируют странные аттракторы с хаотическими свойствами. Примерами гиперболических аттракторов являются искусственными математические конструкции, такие, как аттрактор Плыкина и соленоид Смейла-Вильямса [8].
Доказано, что гиперболические странные аттракторы являются грубыми (структурно устойчивыми) [1]- [5]. Грубость означает нечувствительность характера движений и структуры взаимного расположения траекторий в фазовом пространстве по отношению к малым вариациям уравнений, задающих динамику системы. При этом старший показатель Ляпунова, отвечающий за степень хаотичности, а так же чувствительность динамики по отношению к возмущениям начальных условий, зависят от параметров гладким образом

наблюдалось лишь небольшое изменение величины старшего ляпуновского показателя (в пределах ошибки интегрирования), но он при этом все равно оставался ненулевым.
Следует отметить, что при переходе к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода при критическом значении параметра можно наблюдать странный нехаотический аттрактор (когда старший ляпуновский показатель пересекает нулевой уровень). Но этот режим не грубый, поскольку существует только при единственном значении параметра. Аттрактор, который исследуется в данной работе, существует в некоторой области параметров, хотя и довольно малой. Следовательно, рассматриваемый аттрактор является независимым режимом, а не переходным между регулярным и хаотическими режимами.
Таким образом, мы получили, что новый режим характеризуется сравни-' тельно малым значением старшего ляпуновского показателя и отсутствием в отображении последования квадратичного максимума. Но разумеется этой информации не достаточно, чтобы сказать, с каким типом аттрактора мы имеем дело. Чтобы сказать что-то более конкретное, необходимо рассчитать некоторые дополнительные характеристики найденного аттрактора.
2.3 Некоторые дополнительные характеристики “странного нехаотического аттрактора”
Произведем расчет автокорелляционной функции (АКФ) и спектра мощности для исследуемого режима. Результаты представлены на рис. 2.4 - рис. 2