Особенности сложной динамики систем с полиномиальной нелинейностью : Неавтономные осцилляторы, специальные отображения

• Автор: Кузнецова, Анна Юрьевна
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 175 с. : ил.

Глава 1. Сложная динамика неавтономных осцилляторов с полиномиальными потенциалами
1.1 Классификация неавтономных осцилляторов с полиномиальными потенциалами по схеме теории катастроф Тома
с/, 1.2 Динамика неавтономных нелинейных осцилляторов с
убегающими на бесконечность решениями

і 1.2.1 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с
катастрофой “складка”
1.2.2 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой “двойственная сборка”
1.2.3 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой “ласточкин хвост”
1.3 Динамика неавтономных нелинейных осцилляторов только с ограниченными решениями
1.3.1 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой “сборка”
1.3.2 Сравнение динамики неавтономных осцилляторов с
^ полиномиальными потенциальными функциями, соответствующими катастрофам “сборка”, “бабочка” и “звезда”
1.3.3 Динамика неавтономного нелинейного осциллятора с катастрофой “бабочка”
1.3.4 Динамика неавтономного осциллятора непосредственно в точках катастроф
1.4 Выводы
Глава 2. Сложная динамика специальных отображений с
полиномиальной нелинейностью
2.1 Критические явления в отображениях с удвоениями периода

(обзор основных свойств)
2.2 Классификация отображений с полиномиальной нелинейностью по схеме теории катастроф
2.3 Динамика одномерных отображений с полиномиальной нелинейностью: отображения катастроф “складка”, “сборка”, “ласточкин хвост”
2.4 Динамика двумерных отображений с полиномиальной нелинейностью
2.4.1 Отображение катастрофы “эллиптическая омбилика”, феномены комплексной динамики
2.4.2 Отображение катастрофы “гиперболическая омбилика”, приведение к связанным логистическим отображениям
2.5 Выводы
Глава 3. Сложная динамика универсального модельного отображения
3.1 Конструирование отображения, обладающего всеми известными бифуркациями двумерных отображений и двумя сценариями перехода к хаосу
3.2 Трансформации языков синхронизации
3.3 Сосуществование последовательностей терминальных точек разного типа для линий бифуркации удвоений периода
3.4 Критическое поведение типа Н при разрушении фазовой синхронизации в предельной точке фейгенбаумовского каскада
3.5 Критическое поведение типа С при разрушении фазовой синхронизации в предельной точке фейгенбаумовского каскада
3.6 Качественное подобие бифуркационной структуры областей удвоенного периода п=8, 16... языка синхронизации периода
3.6.1 Конфигурация бифуркационных линий типа “бабочка” в окрестности точек резонанса 1:2 И
3.6.2 Качественное подобие разбиения на области по типу мультипликаторов языков синхронизации периода 3, 4 и их
областей удвоенного периода
3.7 Иллюстрация структуры языка синхронизации периода
3.7.1 Фазовые портреты, бассейны притяжения и локальные бифуркации
3.7.2 Трансформации инвариантных многообразий точек цикла
и механизм разрушения инвариантной окружности
3.7.3. Взаиморасположение точек цикла и критических кривых ^ на фазовом портрете и механизм разрушения инвариантной
окружности
^ 3.7.4. Трансформации бассейнов притяжения аттракторов и
критические кривые
3.8 Выводы
Заключение
Литература
Список публикаций по теме диссертации

1.3.4 Динамика неавтономного осциллятора непосредственно в точках катастроф
В рамках подхода теории катастроф естественным образом возникает задача исследования динамики атипичных осцилляторов, характеризующихся потенциалом вида и{х)~хп для целых пф2. Такие осцилляторы отвечают точно точкам катастроф “сборка”, “бабочка” и так далее. Форма потенциальной функции для них существенно более пологая, чем для традиционного осциллятора с и(х)~х2, причем стенки потенциальной ямы становятся все более крутыми с ростом п. Такие осцилляторы в автономном режиме являются неизохронными: даже для малых колебаний период зависит от их амплитуды, обращаясь в бесконечность при стремлении амплитуды к нулю.
Была исследована динамика осциллятора точно в точке “сборка” - система Уэды [134], определяемая уравнением вида
х л-кх + х3 - Всо&Ш (1.3.4.1)
Примерами такого осциллятора служат системы, представленные на рисунках 1ж-и, при выборе параметров таких что, система находится на пороге катастрофы. (Например, для балки на рисунке 1ж нагрузка такова, что балка находится на пороге выпучивания; для системы на рисунке 1з - пружина не натянута, а стержень горизонтален и т. д.)
Был проведен однопараметрический анализ динамики системы. Бифуркационная диаграмма (рис. 22) была построена с использованием двух указанных начальных условий с целью выявления сосуществующих аттракторов. С ростом параметра В два симметричных решения периода один й/, Ъ2 разной амплитуды в результате бифуркации седло-узел трансформируются в симметричный аттрактор / периода один, который претерпевает бифуркацию вилки и превращается в два асимметричных аттрактора кз, к4 периода один. Эти решения затем трансформируются в аттракторы г), і2, которые, через каскад бифуркаций удвое-