Нелинейные волны и хаос в радиофизических системах с модуляционной неустойчивостью

• Автор: Балякин, Артем Александрович
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 162 с. : ил.

ГЛАВА 1. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА МОДУЛЯЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ
1.1. Нелинейная динамика модуляционной неустойчивости в окрестности критической частоты
1.1.1. Нелинейный эффект смены характера МН. Теория
1.1.2. Численное моделирование нелинейной динамики МН (нелинейное уравнение Шрёдингера)
1.1.3. Численное моделирование нелинейной динамики МН (нелинейное уравнение Клейна-Гордона)
1.1.4. Влияние характера модуляционной неустойчивости на эффекты нелинейного туннелирования
1.1.5. Нелинейная динамика МН в периодической брэгговской структуре
1.2. Нелинейная динамика МН в кольцевом нелинейном резонаторе
1.2.1. Модель кольцевого нелинейного резонатора
1.2.2. Анализ условий неустойчивости стационарного режима
1.2.3. Результаты численного моделирования
1.3. Нелинейная динамика МН при наличии отражений от границ
1.3.1. Модель и основные уравнения
1.3.2. Стационарные режимы колебаний и их устойчивость
1.3.3. Численное моделирование нелинейной динамики одномерного резонатора
1.4. Выводы
ГЛАВА 2. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА В НЕЛИНЕЙНОЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
2.1. Модель и основные уравнения
2.2. Собственные частоты линейных колебаний
2.3. Теоретический анализ модуляционной неустойчивости в нелинейных цепочках84
2.3.1. Цепочка с квадратичной нелинейностью
2.3.2. Цепочка с кубичной нелинейностью
2.4. Результаты численного моделирования
2.4.1. Цепочка с квадратичной нелинейностью
2.4.2. Цепочка с кубичной нелинейностью
2.5. Выводы

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
ЗЛ. Метод конечных разностей во временной области (ГОТО)
3.2. Сложная динамика нелинейного диэлектрического резонатора
3.3. Сложная динамика в периодической нелинейной диэлектрической структуре
3.3.1. Постановка задачи
3.3.2. Анализ дисперсионного соотношения для линейной системы
3.3.3. Результаты численного моделирования
3.4. Выводы
ГЛАВА 4. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА КОЛЬЦЕВОГО НЕЛИНЕЙНОГО РЕЗОНАТОРА (СИСТЕМЫ ИКЕДЫ) ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ДВУХЧАСТОТНОГО СИГНАЛА
4.1. Введение и постановка задачи
4.2. Вывод системы связанных отображений Икеды
4.3. Стационарные режимы колебаний и их устойчивость
4.4. Результаты численного моделирования
4.5. Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БЛАГОДАРНОСТИ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Актуальность исследуемой проблемы. Изучение нелинейных явлений, включая режимы динамического хаоса, в распределенных волновых системах в настоящее время относится к числу наиболее актуальных направлений в современной радиофизике и нелинейной динамике [1-4]. Очевидна связь этих исследований с такими фундаментальными проблемами, как возникновение турбулентности и образование диссипативных структур. Однако на сегодняшний день последовательная теория нелинейной динамики распределенных систем отсутствует, и по сравнению с системами с небольшим числом степеней свободы они изучены все еще достаточно слабо, хотя именно они представляют наибольший интерес.
Следует отметить, что в основном изучается нелинейная динамика в так называемых активных средах, в которых присутствует усиление малых возмущений за счет развития различных волновых неустойчивостей [2-6]. Однако не меньший интерес представляет исследование подобных явлений в нелинейных средах, в которых усиления нет, т.е. их следует отнести к пассивным. При определенных условиях интенсивный регулярный сигнал, генерируемый внешним источником, в процессе распространения в пассивной нелинейной среде может обогащаться новыми независимыми спектральными компонентами и, в частности, становиться хаотическим. Выяснение механизмов, за счет которых это происходит, определение универсальных особенностей сложного поведения, типичных сценариев перехода к хаосу представляет принципиальный интерес для целого ряда разделов физики, в первую очередь — для радиофизики. Отметим, что на языке теории колебаний данную ситуацию следует ассоциировать не с автоколебаниями, а, скорее, с вынужденными колебаниями.
Механизмами, приводящими к сложной динамике в пассивных средах, являются так называемые вторичные неустойчивости, которые развиваются на фоне распространяющихся волн достаточно большой постоянной амплитуды. Среди них следует выделить модуляционную неустойчивость (МН) [2,4,7-11], которая играет важную роль в гидродинамике, радиофизике, нелинейной оптике, физике плазмы и др. и заключается в том, что периодическая волна, распространяющаяся в нелинейной диспергирующей среде, оказывается неустойчивой относительно крупномасштабных пространственных и/или временных модуляций. Развитие МН обычно приводит на сильно нелинейной стадии к образованию солитонов огибающей. Хотя изучению этих явлений посвящено большое количество работ, в них, как правило, идет речь о неустойчивости в безгра-

ко увеличивается при приближении к критическому значению пы = 4 п2лу3 (см. формулу (1.53)).
Для синфазной структуры наблюдается только переход к солитонному туннелированию, поскольку значения интенсивности в этом случае оказываются гораздо выше. Поэтому не удается достичь порога I , так как раньше возникает численная неустойчивость, о которой говорилось выше. Более того, при пы =1.4 она возникает практически при 1 = 1,, и продвинуться в область меньших пы невозможно, что неудивительно, поскольку п2к1 га 0.7 уже никак нельзя считать малой величиной.
Что касается поведения системы (1.42) при изменении частоты, когда амплитуда фиксирована, то оно качественно не отличается от описанного выше для системы (1.44) (рис. 1.14-1.16), и мы его обсуждать не будем.
1.2. Нелинейная динамика МН в кольцевом резонаторе
1.2.1. Модель кольцевого нелинейного резонатора
В предыдущих разделах были исследованы процессы усложнения сигнала в случае, когда модуляционная неустойчивость является абсолютной. Однако аналогичные явления возможны и при конвективной МН, если рассматривается система конечной протяженности. В этом случае появление какого-либо механизма внешней обратной связи (ОС) может превратить неустойчивость в глобальную, что также дестабилизирует режим стационарного распространения сигнала. Отметим, что подобную систему можно рассматривать как кольцевой нелинейный резонатор, возбуждаемый внешним сигналом.
Итак, рассмотрим резонатор, содержащий нелинейную среду с МН, схематически изображенный на рис. 1.18. Данную модель можно описать при помощи НУШ (1.1) с граничным условием, содержащим запаздывание
-4(0,1) = Д, ехр(—гш!) + — Д<). (1-57)
Здесь Я = р ехр {пр) — комплексный коэффициент обратной связи, Д £ — время запаздывания, Ь — протяженность нелинейной среды, Диш — амплитуда и частота входного сигнала. В случае, когда МН отсутствует, эта система была подробно изучена К. Икедой с соавторами [19,33-35], которые рассматривали динамику светового пучка в оптическом резонаторе, содержащем нелинейный диэлектрик. Следуя исторической традиции, на рис. 1.18 изображена схема нелинейно-оптической модели, однако это не