Исследование электромагнитных полей в окрестности цилиндрической неоднородности сложной формы

• Автор: Алехина, Татьяна Юрьевна
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 136 с.

Введение.
В настоящей работе исследуется влияние на электромагнитное поле цилиндрической неоднородности сложного сечения. Такого рода задачи относятся к двумерным граничным задачам теории дифракции, описывающим процессы распространения гармонических электромагнитных колебаний в присутствии локальных рассеивателей, обладающих различными электрическими и магнитными свойствами.Они формулируются в виде системы уравнений Максвелла с принципом предельной амплитуды на бесконечности и граничными условиями на поверхностях, где диэлектрическая и магнитная проницаемость среды испытывают скачки. Особенность нашей задачи заключается в том, что поверхность неоднородности не совпадает с координатными поверхностями системы координат, в которой имело бы место разделение переменных. Кроме того, предложенные ниже методы решения не накладывают ограничений не гладкость контура рассеивателя и позволяют рассматривать неоднородности, границы которых содержат угловые точки.
Подходы к решению такого класса задач в высокочастотном случае, т.е. когда характерные размеры тела много больше длины волны в вакууме, сравнительно хорошо изучены, составляют самостоятельную область исследований и основаны на таких ассимптотических методах, как методы геометрической или физической оптики [1 - 3], или комбинации методов, например, физической оптики и интегральных уравнений [4, 5], которые позволяют рассматривать тела, имеющие угловые точки. В частности, в [6 - 8] для решения задач дифракции на многоугольниках произвольной конфшурации используются представления краевых волн в сочетании с методом интегральных уравнений. Значительный интерес представляет исследование геометрической неоднородности в низкочастотной области,

когда характерные размеры задачи меньше длины волны в вакууме. Именно в этой области наблюдаются наиболее интересные эффекты, находящие применение в теории антенн. Так, при размещении низкочастотной антенны на рельефных возвышенностях может иметь место значительное усиление полей; например, для холма в виде полуэллипсоида, расположенного на бесконечно проводящей плоскости, это усиление может быть весьма заметным в зависимости от соотношения полуосей [9, 10]. Именно низкочастотному случаю и посвящена данная работа.
Исследование граничных задач электродинамики при наличии угловых, или сингулярных точек, начиналось с рассмотрения дифракции на идеально проводящем клине. Эта проблема имеет особую важность, поскольку позволяет выделить эффекты, непосредственно обусловленные наличием угловых точек на границе неоднородности. В настоящее время она строго решена [11], в том числе и для клина с конечной диэлектрической проницаемостью. Среди обширного списка работ, посвященных данной теме, выделим [12], где рассматривается случай двух сос тыкованных клиньев и для решения применяется аппарат задачи Римана - Гильберта; в [13] рассмотрен вопрос о пополнении рядов Мейкснера, введенных в [14], логарифмическими членами; [15, 16], где использован аппарат интеграла Зоммерфельда - Малюжинца для построения решения задачи дифракции на импедансном клине. В числе последних исследований отметим работу [17], в которой развиты математические аспекты, расширяющие область применения аппарата интеграла Зоммерфельда - Малюжинца, а также разработана схема регуляризации сингулярных интегральных уравнений, возникающих при решении задач о клиньях.
В основе методов решения граничных задач дифракции при наличии угловых точек лежит идея обращения сингулярной части оператора задачи и сведения уравнения к виду, допускающему приближенные способы

решения. В результате приходят либо к интегральному уравнению с вполне непрерывным в 12 либо в Ь7 оператором и к корректным бесконечным системам линейных алгебраических уравнений второго рода БСЛАУ-П. Имеется несколько различных вариантов, основанных на обращении сингулярной части матричного оператора, предусматривающих привлечение подходящего для данного случая математического аппарата. Среди них одним из первых, примененных к дифракционным задачам, является метод Винера
- Хопфа [18], который первоначально был разработан для решения интегральных уравнений специального вида. Сущность его состоит в том, что решение системы функциональных уравнений, получаемой после преобразования Фурье исходной задачи, можно свести к построению некоторой аналитической функции во всей плоскости комплексного переменного путем факторизации и методом аналитического продолжения. Метод Винера - Хопфа был использован для исследования дифракции волн на пластинах конечной ширины и толщины, а также в различных волноводах и на периодических структурах; возможности его применения наиболее полно изложены в [19]. Модификацией метода Винера - Хопфа является метод задачи Римана - Гильберта, названный так потому, что основывается на аппарате задачи Римана - Гильберта теории аналитических функций. Если в задаче Винера - Хопфа факторизация проводится на верхней и нижней полуплоскостях, то в задаче Римана - Гильберта - для внутренности и внешности, вообще говоря, произвольного замкнутого контура, в частности
- для единичной окружности. Одним из первых примеров его реализации является [20]; дальнейшее развитие он получил в ряде работ при изучении дифракции на многоэлементных и многослойных решетках, на различных ленточных препятствиях, в волноводах; основные результаты этих работ собраны в [21]. Аппарат задачи Римана - Гильберта со сдвигом использован в [12] для решения задачи дифракции на комбинации двух прямоугольных

в общем случае показать улучшение сходимости рядов (1.11) затруднительно, хотя полученное в результате решение (1.16) совпадает с точностью до 0(ч'с) с решениями, найденными другими методами - методами дифференциальных и интегральных уравнений, свободных от этих недостатков.
В основе МЗДУ и МПО лежит метод конформного преобразования внешности полуэллипса на внешность полукруга с преобразующей функцией (1.17). При этом задача дифракции над неоднородностью сложной формы
и однородной средой сводится к задаче с простыми границами, но неоднородной средой. Этот подход обладает тем преимуществом, что позволяет рассматривать неоднородности, границы которых содержат угловые точки, поскольку сингулярная часть, с ними связанная, строго учитывается при обратном конформном отображении. Таким образом, в МЗДУ и МПО, в отличие от предыдущего способа, не накладывается ограничений на гладкость тела. При этом дифференциальное уравнение преобразуется, в общем случае, в уравнение с неделящимися переменными (хотя в случае эллипса переменные делятся, использование этого факта не дает хороших результатов, поскольку решение представляется в виде рядов по функциям Матье и их разложениям, что уже обсуждалось выше). МЗДУ и МПО являются различными подходами к решению дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с неделящимися переменными.
Основные моменты МЗДУ последовательно повторяют схему решения уравнений, в которых переменные делятся, с помощью собственных функций и собственных значений: разложение по полной системе функций, использование их ортогональности и получение уравнения д ля неизвестных коэффициентов разложения. Это приводит к тому, что после разложения слагаемых, ответственных за неделящиеся переменные, по той же системе