Решение обратной задачи динамики в ОТО по алгебрам первых интегралов

• Автор: Захаров, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1987
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 113 c. : ил

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ В ОТО И ЕЁ ПРОИЗВОЛ
§1.1. Алгебра интегралов движения
§1.2. Произвол решения обратной задачи
§1.3. Системы определяющих уравнений для линейных и квадратичных интегралов в ОТО
§1.4. Связь обратной задачи с задачей моделирования физических полей
§1.5. Инфинитезимальная биколлинеация в псевдоримановых пространствах и и приближённое отображение мировых линий
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПО ЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛАМ ДВИЖЕНИЯ
§2.1. Решение обратной задачи по алгебрам линейных интегралов заряженных частиц в конфигурационном пространстве
§2.2. Решение обратной задачи по алгебрам линейных интегралов заряженных частиц в зарядовом про странстве
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ ЛИНЕЙНЫХ И КВАДРАТИЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ §3.1. Соотношение между линейными и квадра тичными интегралами движения
§3.2. Методы решения обра тной задачи по квадратичному интегралу
ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ В СЛУЧАЕ ПОЛНОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
§4.1. Разделение переменных в случае измерений
§4.2. Разделение переменных в случае четырёх измерений
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
ЛИТЕРАТУРА

Краткий исторический обзор. В классической механике интерес к решению обратной задачи динамики непрерывно возрастал с момента первой её постановки и решения Ньютоном [52,с.12] и в особенности в наши дни, по мере развития техники и космонавтики. Многочисленные исследования обратной задачи в классической механике подитоживает монография [ 17] . Автор монографии считает, что впервые выделил класс обратных задач Г,К.Суслов в 1830 году. [71] Под обратной задачей в классической механике понимается задача определения активных сил и моментов, приложенных к механической системе и дополнительно наложенных на неё связей, при которых движение с заданными свойствами является одним из возможных движений рассматриваемой механической системы [17,с.7] . Свойства движения могут задаваться различным способом. Наиболее изучены в классической механике обратные задачи, когда свойства движения заданы в виде интегрального многообразия Е :
6аеЕ ” 6а(1в, Х I ) = Са , Са=Соп$*, СМД
Такие обратные задачи ставятся в следующих вариантах.
1. Построить систему уравнений движения
Хк = У К(Х1, Х I)
2. Восстановить уравнения движения
Л*= Уо(х х" 1Т(ХК, х I), { ) ,
структура которых известна, но неизвестны параметры Т7'г
3. Замкнуть систему уравнений
Х* = Уо(Х Хк, V*; йг, I)
построением замыкающих уравнений
^г- Л(Х', ±к, V, 1>г, I), = г=ЯТп.
Обратная задача в первом варианте была поставлена и решена академиком Еругиным Н.П. [32] . Необходимые условия осуществимости движения с заданным многообразием £ записываются в виде
+ д6а_^[ + д6а_ ПК = ф , . ,
д1 дХ1 эхк ^ 5 5 '• '
Здесь функции (ф>а произвольные в случае С а = О и обращающиеся в нуль на интегральном многообразии в случае С« * О . Аналогичные уравнения возникают во втором и третьем вариантах. [17,с.2 8]
Как наличие функций Ф так и ситуация, при которой число интегралов 177 меньше числа уравнений п , позволяют решать обратную задачу с большим произволом, в рамках которого можно накладывать дополнительные условия. Например, подчинить силовые функции полевым уравнениям или наложить условия устойчивости движения и его оптимальности. [17,с.12],[18,19] ,[ю], [ 9] ,[54]
В ОТО обратные задачи пробных частиц относятся ко второму варианту. Так как, приняв гипотезу геодезических или форму сил Лоренца, действующих на заряженные частицы, мы получаем общую конструкцию уравнений движения. Неизвестными будут компоненты метрического тензора и бивектора электромагнитного поля ]~к: »
либо вектор- потенциала ( I в той или иной калибровке. [33] ,
[ 62] , [64]
Обратная задача динамики отличается от проблемы измерений или проблемы наблюдаемых, которые рассматривались Килмистером С.
[45,с.89-99] , Владимировым Ю.С. [14] , Арифовым Л.Я. [7,с.50-57] 1и в других работах, где основной задачей является выбор способа

либровка вектора электромагнитного поля, а напряженность поля не зависет, а для других структур алгебры интегралов скалярная добавка существенно определяет электромагнитное поле: уа(х) = 0, —> я-, №) = О.
4. Если в работах Калуцы и Эйнштейна по пятимерному представлению электромагнетизма рассматривалось такое соответствие геодезических в пятимерном пространстве Уу и траекторий заряженных частиц в пространстве ОТО V/) , которое с необходимостью приводило к
сохранению заряда вдоль траекторий, заряд оказывался линейным первым интегралом движения. То требование того, чтобы заряд пробной частицы был бы первым интегралом движения приводит ко всем возможным соответствиям движения заряженных частиц в одном пространстве ОТО Д и движений в другом пространстве частиц как незаряженных, так и заряженных. Получены формулы, устанавливающие такую связь пространств и электромагнитных полей. Это соответствие получило название зарядового преобразования гравитационных и электромагнитных полей.
5. Выявлены симметрии пространств, допускающих зарядовые преобразования, на языке трехмерной силы.
6. Выдвинута задача исследования пространств особой симметрии, допускающих биколлинеацию; даётся определение и условие' биколли-неации.
7. Проведен подробный анализ уравнений для решения обратной задачи динамики по квадратичным интегралам. Особое внимание в этом вопросе уделяется выделению существенно квадратичного интеграла из всевозможных линейных комбинаций линейных интегралов, которые меняют определяющие уравнения.