Хаотическая динамика и структурообразование в дискретных моделях распределенных сред

• Автор: Васильев, Константин Алексеевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с. : ил.

1 Введение

2 Элементы теории динамических систем

2.1 Бифуркации и развитие хаоса в динамических системах

2.1.1 Общие положения

2.1.2 Удвоение периода

2.1.3 Перемежаемость

2.1.4 Разрушение тора

2.1.5 Гомоклинические структуры

2.2 Характерные свойства хаотических динамических систем

2.2.1 Показатели Ляпунова

2.2.2 Характеристики хаотичности

2.2.3 Хаотические аттракторы
2.2.4 Одномерные отображения
2.3 Методы стабилизации хаотической динамики
2.3.1 Системы с внешними возмущениями
2.3.2 Силовое и параметрическое воздействия
2.3.3 Метод резонансных возбуждений
2.3.4 Метод Гребоджи-Отта-Йорка
2.3.5 Параметрическое возбуждение и подавление хаоса
2.3.6 Методы резонансной и высокочастотной стабилизации
2.4 Динамика диффузионно сцепленных систем
2.5 Современное состояние исследования хаотических систем
3 Особенности динамики агрегатов взаимодействующих отображений
3.1 Подавление хаоса в одномерных унимодальных отображениях
3.1.1 Формулировка подхода

3.1.2 Аналитический подход
3.1.3 Численный анализ
3.2 Задача о возможности подавления хаоса при неоднородном внешнем воздействии
3.2.1 Понятие циклических каскадов отображений
3.2.2 Численные исследования
3.3 Агрегаты каскадов с дефектами
3.3.1 Результаты численного моделирования
4 Динамика диффузионно сцепленных подсистем
4.1 Пространственно однородная цепочка
4.2 Пространственно неоднородные цепочки
4.2.1 Кольцевая цепочка с периодической пространственной неоднородностью
4.2.2 Кольцевая цепочка с единственным дефектом
4.3 Заключение
5 Структурообразование в движущихся средах
5.1 Анализ вращающихся БЬА-кластеров
5.2 Теоретическая модель
5.3 Численные исследования
5.4 Прямое компьютерное моделирование вращающихся ПЬА-кластеров
5.5 Заключение
6 Заключение

Глава
Обсуждая такое всеобъемлющее явление как хаос, в настоящее время имеют ввиду не только фундаментальные вопросы статистической физики, но и разнообразные приложения к конкретным задачам механики, астрофизики, физики плазмы, медицины, биологии и др. Проявление хаотического поведения в той или иной системе не связано с действием каких-либо случайных по своей природе сил. Сущность хаотического поведения полностью детерминированных систем заключается в свойстве приобретать экспоненциально сильную неустойчивость траекторий при определенных значениях параметров. Принципиальное значение исследований в этой области состоит в том, что они вскрывают природу случайного, развивая гипотезу динамической стохастич-ности в дополнение к гипотезе молекулярного хаоса.
Впервые на связь между статистикой и неустойчивостью указал А. Пуанкаре [1]. В тот же период времени статистический подход к описанию систем со многими степенями свободы был предложен Л. Больцманом [2]. Он высказал предположение, что движение частиц в разреженном газе следует рассматривать как случайное, и каждой частице доступна вся энергетически разрешенная область фазового пространства. Такое представление о системах многих частиц известно как эргодическая гипотеза [2,3], которая стала основой классической статистической механики. Однако ее строгое обоснование долгое время не находило подтверждения. Некоторое продвижение в этом направлении было достигнуто благодаря исследованиям П. Эренфеста [4], которые позволяли в том числе установить рамки применимости законов статистической механики. Однако известная работа Э. Ферми, Дж. Паста и С. Улама [5], где впервые была предпринята попытка проверки эргодической гипотезы, вновь выдвинула проблему обоснования статистической физики на первый план.

4. При этом значении параметра логистическое отображение проявляет наиболее сильные (доказано аналитически) хаотические свойства. Оно является топологически эквивалентным растягивающему отображению типа «палатки» и, таким образом, динамическая система, произведенная логистическим отображением (3.1) с а = 4 изоморфна отображению Бернулли [134]. Несмотря на это, если в (3.11) й1 = 4 (или Яг = 4), то и в этом случае динамика может быть стабилизирована. Иллюстрация этого явления приведена на рис. 3.5.
Наконец, определяя размер областей подавления хаоса согласно вышеупомянутой теореме, рассмотрим окрестность точек, найденных в разделе 3.1.2, а = (а^аг) = (3.678 573 36,3.974 59125). Эта пара параметров соответствует устойчивому циклу периода 6 (рис. 3.2,). Можно видеть (рис. 3.6), что размер этой окрестности не меньше по крайней мере чем 3 ■ 10_5щ, 1 = 1,2. Другие исследованные значения параметров, которые удовлетворяют условию теоремы, дают тот же самый порядок величины (~ 10_5щ) (рис. 3.5).
3.2 Задача о возможности подавления хаоса при неоднородном внешнем воздействии
3.2.1 Понятие циклических каскадов отображений
Известно, что поведение многих физических, химических и некоторых других систем может быть эквивалентно сети динамических систем с дискретным временем, т. е. некоторому сообществу взаимодействующих автоматов. Такие автоматы могут быть как вероятностными, когда определена только вероятность перехода в новое состояние, так и детерминированными, для которых следующее состояние х„,! однозначно определяется последовательностью предыдущих СОСТОЯНИЙ Хп, Хп-х,Хп-2,
Ниже рассмотрены совокупности детерминированных автоматов без памяти, т. е. фактически одномерных отображений, для которых состояние хп+1 определено только предыдущим состоянием хп: х„+1 = f(xn,a).
Циклические каскады строятся из отображений таким образом, что (в терминах радиоэлектронных цепей) выход каждого отображения, рассматриваемого как четырехполюсный преобразователь, подается на вход следующего отображения и так далее. «Выход» последнего отображения в каскаде подается на «вход» первого отображения, которое, таким образом, замыкает цепь. Концепция каскадов автоматов в контексте нейросетевого описания была развита