Физические состояния в некоторых точно решаемых моделях двумерной квантовой теории поля

• Автор: Алексеев, Олег Вадимович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Черноголовка
• Количество страниц: 113 с.

Оглавление
Введение
Теория Лиувнллевской гравитации
Интегрируемые модели квантовой теории поля
Содержание работы
1 Минимальная Лиувиллевская гравитация М(2, 3)
1.1 Обозначения
1.2 БРСТ комплекс относительных когомологий
1.2.1 Теоремы Лиана-Цукермана
1.2.2 Процедура рекуррентного построения базисных состояний
1.2.3 Рекуррентные уравнения
1.2.4 Операторы, действующие на пространстве относительных когомлогий
1.2.5 Операторная алгебра
1.3 Абсолютные когомологии
1.3.1 Базис в пространстве когмологнческих классов
1.3.2 Операторная алгебра
1.4 Некоторые представители классов когомлогий
2 Форм факторы локальных операторов в теория Тоды для аффинной алгебры
2.1 Теория Тоды для аффинной алгебры Ли
2.2 Свободно-полевое представление для форм факторов локальных операторов
2.2.1 форм факторы экспоненциальных операторов
2.3 Форм факторы операторов потомков
2.3.1 Интегралы движения
2.3.2 Свойство кластерной факторизации и асимптотическое поведение
2.3.3 Подсчет операторов потомков
2.4 Альтернативная процедура бозонизации

2.4.1 Рекуррентные соотношения и отражательные свойства для форм факторов экспоненциальных операторов
2.4.2 Уравнения движения
2.5 Отражательные соотношения для форм факторов операторов потомков
2.5.1 Решения для уравнений и форы факторы
2.6 Операторы потомки на уровне (1,0)
3 Форм факторы локальных операторов в модели Буллоу-Додда
3.1 Модель Буллоу-Додда
3.2 Свободно-полевое представление для форм факторов локальных операторов
3.2.1 Свойства форм факторов
3.2.2 Отражательные свойства форм факторов локальных операторов
3.3 Альтернативная процедура бозонпзацни
3.4 Реккурентные соотношения для форм факторов экспоненциальных операторов
3.4.1 Рекуррентные соотношения
3.4.2 Уравнения движения для форм факторов
3.5 Явные выражения для форм факторов экспоненциальных операторов
3.6 Минимальные модели, возмущенные оператором Ф12
3.6.1 Теория рассеяния
3.6.2 Форм факторы
3.7 Модель Изинга в магнитном поле
3.7.1 Теория рассеяния
3.7.2 Форм факторы
Заключение
Список литературы

Введение
Эта работа посвящена изучению некоторых вопросов, касающихся двумерных точно решаемых моделей квантовой теории ноля. Обсуждаемые вопросы связаны с тремя конкретными моделями: двумерной Лиувиллевской гравитацией, двумерной теорией Тоды для аффинной алгебры А_г и моделью Буллоу-Додда. Нами будет рассматриваться задача о классификации физических состояний в этих трех моделях. В частности, решение данной задачи является необходимым шагом для вычисления корреляционных функций в рассматриваемых теориях. Отметим, что рассматриваемые нами теории представляют собой как безмассовые (Лиувиллевская гравитация), так и массивные (теория Тоды и модель Буллоу-Додда) примеры точно решаемых двумерных моделей квантовых теорий поля. Однако, и в том и в другом случае задача определения пространства физических состояний н вычисления корреляционных функций для этих состояний является крайне нетривиальной.
Двумерная теория гравитации и двумерные интегрируемые модели квантовой теории поля являются темами, привлекающими постоянный интерес на протяжении последних 20 лет. Обе эти темы оказываются связанными с конформными моделями квантовой теории поля. Например, ультрафиолетовый предел интегрируемых моделей может рассматриваться как конформная теория ноля, возмущенная некоторым ‘интегрируемым’ релевантным оператором, в то время как теория гравитации в рассматриваемой нами формулировке представляет собой тензорное произведение трех конформных теорий поля, взаимодействующих в силу условия сокращения конформной аномалии. Приведем кратко основные сведения из теории Лиувиллевской гравитации и теории интегрируемых моделей, которые б}Щут использоваться в дальнейшем.
Теория Лиувиллевской гравитации
Начиная с Эйнштейна, под гравитацией динамическая теория метрики пространства-времени. Такая динамика может изучаться как на классическом уровне, так и квантовом, в последнем случае мы можем говорить о квантовой теории гравитации. Основными динамическим переменными ЯВЛЯЮТСЯ компоненты метрического тензора
Теория гравитации довольно сложная теория не только с математической точки зрения, по и с концептуальной. Даже в классической гравитации уравнения движения для метрики оказываются не линейными и приводят к решениям, которые обычно имеют осо-

которое в дальнейшем будет обозначаться как
0,-02 = 03.
(1.18)
Это кольцо должно быть коммутативно и ассоциативно. Мы утверждаем, что операторная алгебра классов относительных когомологий не является ассоциативной. Рассмотрим простейший нетривиальный пример и покажем, что
Левая часть этого неравенства равна 0 в пространстве когомлогий. Действительно, из правил слияния для полей теории Лиувилля и закона сохранения духового числа следует, что произведение 0£} О“; находится в пространстве Яге!(£а1) и имеет духовое число, равное 4. Согласно результатам Лиана и Цукермана (1.3), мы получаем, что ЩеГ,а1) — 0. Поэтому, Оа„ 0% равно 0 по модулю БРСТ точных членов и, следовательно, вся левая часть (1.19) равна 0 по модулю БРСТ точных членов.
Правая часть неравенства (1.19) может быть вычислена с помощью явного вида операторов, приведенного в разделе 1.4. Правая часть, как можно показать, равна 240 -0“ф Это вычисление показывает, что операторная алгебра представителей классов относительных когомлогий не является ассоциативной.
Отсутствие ассоциативности операторной алгебры крайне нежелательно. Рассмотрим эту проблему подробно. До сих пор мы обсуждали классы относительных когомлогий го, по модулю (Эш', где оба элемента и) и и/ занудяются при действии Ь0. Отметим, что существуют состояния вида (фй), такие что Ьой> ф 0. Например, состояние 0° имеет такой вид,
Любая корреляционная функция, которая содержит такие состояния равна нулю. Можно сказать, что эти состояния не являются физическими. Поэтом}', нам следует исключить такие состояния из рассмотрения. Для этого, мы рассмотрим абсолютный БРСТ комплекс.
(.011 °аа) °2 Ф °2 (02 о%).
(1.19)
Оаа =<2Ы- 1Ф«,)-