Теория нелинейных упругих волн в твердотельных волноводах

• Автор: Самсонов, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 75 с. : ил.; 20х15 см

Общая характеристика работы
Основное содержание работы
1. Нелинейные волны деформации в упругих волноводах
1.1 Основные уравнения для нелинейных волн в упругих волноводах
1.2 Лагранжев формализм и вывод основных уравнений ГЗ Модификации и обобщения постановки задач
1.4 Связанные нелинейные уравнения для волн в тонких пластинах
2. Аналитические методы и решения нелинейных волновых задач
2.1 Недиссипативные нелинейные уравнения
2.2 Законы сохранения, интегрируемость и гамильтонова структура
2.3 Новый подход к интегрированию диссипативных нелинейных уравнений
2.4 Некоторые точные решения нелинейных уравнений с диссипацией
2.5 Точные решения нелинейного уравнения реакции-диффузии
3. Физические эксперименты по возбуждению солитонов В ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ВОЛНОВОДАХ
3.1 Оценки параметров солитона продольной деформации
3.2 Метод возбуждения солитонов продольной деформации
3.3 Отражение солитона от конца волновода
3.4 Солитоны деформации в стержне переменного сечения
3.5 Солитоны в неоднородном стержне
3 6 Эксперименты по распространению солитонов в неоднородных волноводах
4. Нелинейные волны в волноводах сложной структуры
4.1 Солитоны деформации в нелинейно упругих пластинах
4.2 Продольные волны в стержне, помещенном в сплошную среду
4.3 Нелинейные волны в слое на упругом полупространстве
5. Численные эксперименты по распространению солитонов ДЕФОРМАЦИИ В УПРУГИХ ВОЛНОВОДАХ
5.1 Численный метод расчета распространении солитонов
5.2 Уединенные волны в однородных стержнях
5.3 Уединенные волны в геометрически неоднородных стержнях
5.4 Уединенные волны в составных и неоднородных волноводах
Заключение
Основные работы, опубликованные по теме диссертации

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. Возбуждение длинных нелинейных волн деформации (в частности, солитонов) может играть важную роль в развитии современных технологий неразрушающего контроля, методов измерения упругих параметров материалов, исследовании временной эволюции деформаций, моделировании разрушения и прочности твердых тел, и др. Кроме того, особый интерес представляет изучение быстролротекающего интенсивного нагружения полимеров, металлов, композитов, обладающих радиационной стойкостью, износоустойчивостью и применяемых в машиностроительных, аэрокосмических конструкциях, для изготовления слоистых термоядерных мишеней и т.п. Нелинейные упругие свойства таких материалов приводят к появлению нового типа длинных волн плотности - солитонов деформации даже при кратковременном и сравнительно слабом обратимом (упругом) нагружении. После открытия Дж. Скоттом Расселом (J.S. Russell) в 1834 г. солитонов на мелкой воде в силу подобия в соотношениях между напряжениями и деформациями в жидкостях и твердых телах были предприняты (безуспешные) попытки возбуждения и регистрации уединенных волн в твердотельных волноводах, однако ни найденные точные решевшя уравнений КдВ и Вуссиве-ска, ни достижения в нелинейной динамической теории упругости не привели к результату. Теория нелинейных волн и методы решения нелинейных уравнений математической физики, построенные в 1960-1980-х гг. усилиями М.Абловица, Р.Буллафа, Н.Забуски, В.Е.Захарова, Ф.Калоджеро, М. Кру скал а, Е.М. Кузнецова, П.Лакса, Р.Миуры, С.П.Новикова, А.Ньюэлла, М.И. Рабиновича, А.Скотта, А.Б.Шабата, Л.Д.Фаддеева и многих других дали важнейшие результаты; упомянем метод обратной задачи теории рассеяния (ОЗР) как наиболее эффективный при решении краевых задач нелинейной математической физики. Нелинейность деформации твердого тела была открыта практически вместе с публикацией линейного закона Гука, его обобщения привели к созданию Д.Блендом, Г.Кольским, А.И.Лурье, Ф.Мурнага-ном, В.В.Новожиловым, В.А.Пальмовым, Р.Ривлиным и многими другими нелинейной теории упругости твердого тела. Динамические волновые задачи в физике и механике твердого тела вызвали большой интерес после работ Рэлея и Лява и послужили развитию теории быстропротекающих процессов деформации и нелинейной акустики, упомянем лишь работы Ф.В.Бункина, Л.К.Зарембо, В.А.Красильникова, Л.А.Островского, О.В.Руденко, С.А.Рыбака, Ю.Энгельбрехта. Наконец, достижения на этих направлениях тесно связаны с развитием прямых и асимптотических методов интегрирования уравнений математической физики, развитых в работах В.М.Бабича, В.Ф.Бутузова, В.Вазова, А.В.Васшгьевой, М.И.Вшшпка, П.С.Ланда, ■С.А.Ломова, Я.Н.Моисеева, А.Найфе, М.В.Федорюка и многих других.
Солитон в физике твердого тела, цо-видимому, впервые был найден Я.И.Френкелем а Т.М.Конторовой в 1938 г. в форме уединенной волны в одномерной цепочке масс, связанных пружинами. Анализ модели показал, что уединенные волны в цепочке идеальных атомов почти не рассеиваются и потому могли бы использоваться в приложениях для переноса энергии и/или информации на большие расстояния без заметных потерь.
Создать непротиворечивую и пригодную для верификации в физических экспериментах континуальную модель длинных нелинейных волн в твердом геле долго не удавалось.
Позднее, в нелинейной акустике были найдены высокочастотные нелинейные упругие волны, огибающая которых обладает свойствами солитона, однако, прямого аналога для длинных нелинейных волн в жидкости в физике твердого тела не было. Противоречие между единством моделей физики и механики конденсированных сред и полным отсутствием наблюдений нелинейных волн деформации стало основным мотивом нашего исследования, необходимо было критически оценить имевшиеся данные, предложить новую теорию, понять, каким образом на основе теории рассчитать параметры эксперимента, создать в твердом теле импульс упругой деформации, достаточный, чтобы преобразовать его в уединенную волну, но при этом не разрушить сам волновод, предложить прямой способ регистрации длинной уединенной волны

Рис. 20: Периодические (1) и солитоныые (2) решения задачи о волнах в тонком нелинейно упругом слое латуни на кварце (а) и на МдО (Ь).
Наконец, в следующем порядке мы получаем НУЩ для а:

с D, Е, зависящими от модулей упругости. Соотношения между ними определяют параметры уравнений и тип решения. Выяснилось, что существуют кноидальные периодические волны огибающей для продольной деформации в слое:
U = А <1п[0 +■ СХ 4 С2Т exp[i{6 4 С%Х 4 С4Т)] (162)
и — Аг сп[0 4 съХ 4 egr] ехр[г(в 4 С7Х 4 с8т)] (163)
где Ait ci сложным образом зависят от параметров задачи. На рис.21 показаны типичные волновые профили; в [38] были найдены такие комбинации модулей упругости и толщины слоя, при которых эти волны практически совпадают с экспериментально обнаруженными Наяво-вым в [118]. Тип решения в виде волн нелинейного уравнения ВО, либо волн огибающей НУШ, определяется начальными условиями для продольной деформации а.
4.3.2. Полный контакт слоя и подложки.
При этом предполагается полная непрерывность всех напряжений и смещений в нелинейной задаче: Tijÿy ~ Т2т, Т,yz = T^yz ,V — V% Wi — Wi и те же масштабы и мачый
параметр, что и ранее, приводят к асимптотической постановке задач в слое и в подложке,
причем мы показали, [38], что главную роль теперь играет нелинейность упругого полупространства. В главном порядке оба смещения в слое но равны нулю, и в новых переменных имеют вид:
Vn = Va(9,Т), Wn = W0(9,T) (164)
Вводя фо и V'O. такие, что «02 = Фо,у +■ 0од> w02 — Фо,е - 00,у, получаем задачу для полупространства: