Функции Грина в неравновесных моделях статистической механики

• Автор: Погосян, Сергей Суренович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 108 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 ТАБЕР с параллельным подрешеточным обновлением

1.1 Марковские уравнения для ТАБЕР

1.2 Основные свойства динамики подрешеточного обновления

1.3 Функции Грина для различных начальных и конечных условий

1.4 Обсуждение

2 ТАБЕР с обобщенным правилом обновления

2.1 Основные обозначения и определение правила обновления

2.2 Решение с помощью аналитического анзаца Бете

2.3 Индукция для трех и более частиц

3 Разновременные корреляционные функции
3.1 Основные определения и метод решения
3.2 Асимптотический предел корреляционных функций
3.3 Метод обобщенных функций Грина и детерминантные точечные процессы
3.4 Многокаскадный процесс и многочастичные корреляционные функции
3.5 Асимптотический анализ корреляционного ядра
4 Биополимеры и двумерные случайные блуждания
4.1 Формулировка математической модели биополимера
4.2 Моделирование биополимера с помощью двумерного случайного блуждания частицы
4.3 Случайные блуждания с остановками в начале координат
4.4 Вычисление асимптотического выражения термодинамических величин
4.5 Обсуждение результатов
Заключение
Литература

Введение
Решеточные модели играют важную роль во многих областях теоретической физики, например в статистической механике, квантовой теории поля, гидродинамике и т.д. Особый интерес представляют точно решаемые решеточные модели, которые позволяют обнаружить критические явления в системах. Такое критическое поведение трудно исследовать численно или какими-то приближенными методами. Одним из важнейших примеров точно решаемых моделей в равновесной статистической механике является двумерная модель Изинга, решение которой было впервые дано Он-сагером в 1944 году [1]. Она описывается относительно простым гамильтонианом с короткодействующими взаимодействиями между частицами, и в ней может возникнуть фазовый переход второго рода.
В последние десятилетия большой интерес представляет исследование неравновесных фазовых переходов, которые часто встречаются в неравновесной статистической физике. Они могут возникать даже в простейших одномерных многочастичных системах с нетривиальной динамикой. Примерами таких систем являются: кинетический процесс биополимеризации (kinetics of biopolymerization) [2], движение транспорта по одномерной дороге (traffic flow) [3], решеточный газ во внешнем поле (driven lattice gas) [4], самоорганизованная критичность (self-organized criticality) [5], растущие поверхности (growing interfaces) [6] и т.д. Большинство явлений, встречающихся в таких системах, невозможно описать в пределах теории среднего поля. Эти системы можно смоделировать с помощью одномерных многочастичных процессов, например, полностью асимметричного процесса с простым исключением (Totally Asymmetric Simple Exclusion Process, TASEP). TASEP является стохастической системой взаимодействующих частиц, и служит парадигматической моделью для неравновесной статистической механики [8,9,46], как двумерная модель Изинга в равновесной ста-

тистической механике. Динамика данной модели решеточного газа характеризуется законом обновления состояния на каждом шаге дискретного времени. Для одномерной решетки с дискретным временем наиболее важными случаями являются обратное последовательное, параллельное и параллельное подрешеточное обновления [10]. Для конечного числа частиц динамика системы может быть определена с помощью основного кинетического уравнения (Master equation) вида
где х = {ж;} описывает положения частиц, а рх,х» является вероятностью перехода от конфигурации х к конфигурации х в течение одного временного шага. Эта вероятность перехода различна для различных видов обновления. Для обратного последовательного обновления каждая частица может сделать один шаг направо с вероятностью р, если передний узел свободен в начале временного шага или становится свободным в конце временного шага (из-за движения передней частицы). Для параллельного обновления движение частицы направо разрешено, только если передний узел является свободным в начале временного шага. Производя итерации рекуррентных уравнений (1), можно получить решение основного кинетического уравнения для любой заданной начальной конфигурации х°, т. е. найти условную вероятность конфигурации х в момент времени t, при условии, что в начальный момент времени частицы находились в конфигурации х°. Динамика данного стохастического многочастичного процесса имеет естественную интерпретацию в теоретико-полевых терминах [9,11], где конкретные реализации процесса соответствуют величинам теории поля в представлении путей интегралов по траекториям. Поэтому, по аналогии с соответствующей терминологией теории поля, мы называем такую условную вероятность перехода функцией Грина. Для первых двух случаев, т. е. для обратного последовательного и параллельного обновлений, функции Грина переходов были найдены путем решения основного кинетического уравнения для системы, заданной на бесконечной решетке [16,24,28]. Функция Грина имеет детерминантное представление, аналогичное тому, которое впервые было получено для случая непрерывного времени [23], где частицы прыгали независимо друг от друга после экспоненциально распределенного случайного времени с фиксированным средним, равным 1 [8,9,46]. Такое представление дает возможность вывести распределение потока частиц [14-16],

-<нЬ-1-о- (1-д) *0 /»О-О+у)?)
! гV -ома р(1-(1+у)р) р0-р)
-0-1-1-0- 1-р
-от (1+у)р2 (1+у у
(а)
Т т.
(1+у)рг(1-р) (1+у)рг(1-(1+у)р)
-£Ь-1 о Р(1-Р) р(1-(1+у)р)
-£Ь-1 фЬ- р2(1-(1+у)р) р2(1-(1+у)/))
! 1 ! -о о- 1-р 1-р
-о 14-1-Ь- д(1-0+у» Р0~Р)
(1+у )/(1-(1+у)д) (1+у)р2(1-р)
(1+у)2?5 (1+у У р’

Рис. 2.3: Вероятностные переходы для кластеров, состоящих из (а) двух частиц и (Ь) трех частиц, и соответствующие операторы Т и Т0.