Построение точных решений с функциональными параметрами (2 + 1)-мерных нелинейных уравнений методом ә-одевания

• Автор: Топовский, Антон Валерьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 154 с. : ил.

Список публикаций по теме диссертации
Основные ингредиенты метода З-одевания
Применение метода З-одевания к уравнению Нижника-Веселова-Новикова и двумерным интегрируемым обобщениям уравнений Каупа-Купсршмидта и Са-вады-Котера
Глава 1. Решения с функциональными параметрами уравнения Нижника-Веселова-Новикова
1.1. Удовлетворение условия потенциальности
1.2. Точные решения с функциональными параметрами уравнения НВН-1
1.3. Точные решения с функциональными параметрами уравнения НВН-Н
Глава 2. Многосолитонные решения и нелинейные суперпозиции простых периодических решений уравнения Нижника-Веселова-Новикова
2.1. Общие формулы
2.2. Точные многосолитонные решения уравнения НВН
2.3. Точные многосолитонные решения уравнения НВН-П
2.4. Нелинейные суперпозиции простых периодических решений уравнения НВН
Глава 3. Построение точных потенциалов и соответствующих волновых функций двухмерного стационарного уравнения Шредингера методом 3-одевания
3.1. Многосолитонные потенциалы и соответствующие волновые функции 2Б стационарного уравнения Шредингера
3.2. Физические свойства стационарных состояний квантовой частицы в поле многосолнтонных потенциалов
Глава 4. Решения с функциональными параметрами двумерных обобщений уравнений Савады-Котера и Каупа-Купершмидта
4.1. Решения с функциональными параметрами уравнения 2БКК
4.2. Решения с функциональными параметрами уравнения 2ЭСК

4.3. Простые периодические решения уравнений 2БКК и '2БСК
Заключение
Список литературы

Актуальность работы
Физические законы выражаются, как правило, в форме дифференциальных уравнений. Известна исключительная роль линейных дифференциальных уравнений. Но многие физические явления нелинейны и требуют для своего описания нелинейных уравнений. Нелинейные дифференциальные уравнения встречаются во всех фундаментальных физических теориях: теории тяготения, квантовой теории поля, гидродинамики, теории упругости и т.д. Развитие аналитических методов построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений представляет собой весьма актуальную задачу современной математической и теоретической физики. Весьма актуальным является также использование точных решений нелинейных уравнений для анализа конкретных физических ситуаций.
В 1967 году в работе американских ученых Гарднера, Грина, Крускала и Миуры (ГГКМ) [1] был открыт новый метод точного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений - метод обратной задачи рассеяния (МОЗР). Авторы указанной работы применили МОЗР к решению задачи Коши для известного нелинейного эволюционного дифференциального уравнения Кортсвега-де Фриза (КдФ):
Щ + У.1ХХ + &инх = 0, и(£ = 0, х) = иа(х), (0.1)
где гд(.г) достаточно быстро спадает при |.т| —> оо.
Ключевая идея МОЗР состоит в сопоставлении нелинейному эволюционному уравнению нескольких линейных вспомогательных задач, условием совместности которых является данное нелинейное уравнение. Все этапы МОЗР сводятся к решению линейных задач: на первом этапе решается прямая спектральная задача для первой вспомогательной задачи, па втором этапе интегрируются уравнения линейного закона эволюции для данных обратной задачи и на третьем этапе решаются линейные интегральные уравнения обратной спектральной задачи, например, уравнение Гсльфанда-Лсвитана-Марченко (ГЛМ). Подробное описание МОЗР можно найти в книгах [2-9]. Важный шаг в развитии метода был сделан в работе Лакса [10], где основные результаты, полученные ГГКМ, были переформулированы в операторной форме. Работа содержала новые, фундаментальные идеи, которые способствовали дальнейшему развитию и обобщению МОЗР.
Вскоре после открытия метода Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой, в работе Захарова и Шабата [11] с помощью МОЗР было проинтегрировано второе нелинейное

где а„о - некоторые вещественные постоянные и т - произвольные целые числа. Для второго случая из (2.45) выводятся другие ограничения на параметры:
ап=а,1:=а'п0, с = |//„|2 = |А(,|2: = а^(А'п) + 6п (2.47)
где а'п{) и 8„ - некоторые вещественные постоянные.
Таким образом, ядро До 5-проблемы, приводящее к удовлетворелшю условий потенциальности и вещественности, вследствие (2.9), (2.46) и (2.47), имеет вид:
2(А:+ь)
До(д./1.ЛД) =тг ]Г .4„<5(д — М„)(5(Л — Л„) (2.48)

и состоит из Л'парвидагя(аМ)АД(д-д*)5(А-А*)+ам)дД(д+А^)5(А+дь)) (где е = ~^кк = = -щ., (к — 1 Л')) и А пар вида п(а'юХ'18(ц - //))й(А - А() + + Л()<5(А + ц))
(гдес = |а;|2 = |д;|2, (I = 1 д)).
Наборы амплитуд А„ и параметров М„. Л„, из (2.48). определяются следующим образом
(у4ь .... Л2(к+ь)) = (гпщАь • ■ • > ^а'оАач »ОмМь • ■ • > ъакфк'-ЯщАц ..., ЯщАщ £Хю7/11 • • • • асо^ь)-
(2’49)
(Мь — М2(л-+д)) = (дь ■ • •, Д/с; -Аъ ■ ■ ■, -Ад; Д /-4; —А) — Ад),
(•Л-1..Л2(а-+ы) = (Ах Ад; — /<1 —Дд; А( Ад; -/4, — — Дд).
Многосолитонпыс решения и(г.гЛ) типа [К, А], соответствующие ядру (2.48) с параметрами (2.49)), эллиптической версии уравнения НВН с постоянными асимптотическими значениями —с на бесконечности строятся с помощью детерминантиой формулы (2.8). Одновременно с решением нелинейного уравнения, метод 5-одевания позволяет вычислять волновые функции вспомогательных задач (0.41), (0.42). По формулам (2.4) и (2.5), с учетом (2.49), определяются волновые функции, зависящие от дискретного спектрального параметра ^’^(Мь). 1^1 (М*) = х1А'11(МА)е^№) и волновые функции х[А'Ч(А), ф[1сд)(А) = х|А-ц(А)еД(А))
зависящие от непрерывного спектрального параметра А. Индекс [А'. А] в обозначениях многосолитонных решений и волновых функций соответствует ядру (2.49). состоящему из К + А пар соответствующего типа.
Рассмотрим далее более подробно многосолитонпыс решения типов [А'. 0], [0, А], [К, А] и, в частности, соответствующие односолитопны.м и двухсолитоиным решениям указанных типов волновые функции вспомогательных линейных задач для эллиптической версии уравнения НВН (НВН-П).