О полинормах на алгебрах и некоторых аспектах их применения в теории поля

• Автор: Элиович, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 102 с.

Оглавление

Основные обозначения и сокращения

1 Введение

1.1 Постановка проблемы и ее актуальность

1.2 Цели и задачи диссертационной работы

1.3 Апробация работы, ее научная новизна и ценность

1.4 Краткое содержание работы

2 Гиперкомплексные алгебры и полинормы

2.1 Классические гиперкомплексные алгебры

2.2 Гиперкомплексные алгебры над комплексными и двойными

числами
2.3 2-норма и система сопряжений для бикватернионов
2.4 Обобщенно-ассоциативные свойства алгебр
2.5 Классические теоремы об исключительности
2.6 О применении гинеркомплексных алгебр в физике
2.7 Нормы выше квадратичных - за и против
2.8 Мультипликативные полинормы
2.9 Алгебры и полинормы в неассоциативном случае
3 Обобщенно-квадратичные алгебры и алгебры с центральным
сопряжением
3.1 Основные определения и единственность моментов
3.2 Теоремы о почти-сопряжениях
3.3 Соотношение обобщенно-квадратичных алгебр и алгебр с центральным сопряжением
3.4 Свойства алгебр с центральным сопряжением и конструкции
на них
3.5 О некоторых геометрических аспектах ассоциативности алгебр
3.6 Полинорма
Оглавление З
4 Квадранормы и иные конструкции для алгебр 4 порядка
4.1 Конструкции 2 порядка в явном виде для алгебр В, V, N
4.2 Квадранорма
4.3 Дуальная квадранорма
4.4 Четырехскалярное произведение
4.5 Четырехвекторное произведение
4.6 Норма и скалярное произведение алгебр В, Т> в изотропном базисе
4.7 Основные конструкции в матричном представлении
4.8 Ассоциативные, альтернативные и моноассоциативные алгебры
4 порядка
5 Некоторые возможности применения полинорм на алгебрах
в физике
5.1 4-форма и элемент массы электромагнитного поля
5.2 4-форма и преобразование дуальности электромагнитного поля
5.3 Связь с электродинамикой Борна-Инфельда
5.4 О лагранжиане модели Скирма
Основные результаты и выводы
Список литературы
Приложение

Основные обозначения и сокращения
к с н в

»(а)
3(а)
ЛГ2(а)
4(а)
(а, Ь)
(а, Ь)
(аі, а2
(а, Ь,с,<1)
[а, Ь] = аЬ — Ьа а о Ь = аЬ + Ьа {а, Ь, с} = аЬ с — а Ьс
поле вещественных чисел,
поле комплексных чисел,
алгебра кватернионов,
алгебра бикватернионов,
алгебра дикватернионов,
алгебра октонионов,
алгебра биоктонионов,
алгебра с центральным сопряжением,
сопряжение элемента а,
неточное сопряжение элемента а,
реальная (инвариантная) часта элемента алгебры,
мнимая (антиинвариантная) часть элемента алгебры,
2-норма элемента алгебры,
4-норма элемента алгебры,
2-скалярное произведение 2-векторное произведение полискалярное произведение 4-векторное произведение коммутатор,
антикоммутатор, или йорданово произведение, ассоциатор,

3.1. Основные определения и единственность моментов

тогда U = t'j, щ—п'г в силу дополнительного условия (3.5), фиксирующего элементы центра. Как следствие,
Т = - Ц) = 0, у = п[ — 0; і = і', n = n.

Итак, получаем следующую теорему:
Теорема 2. Соотношение (3.12) и моменты t(а), п(а) є не,м, туш дополнительном условии (3.13), едипстве'нпы для любых элементов а обобщенноквадратичных алгебр Л с полупростым центром (или, эквивалентно, с центром, не содержащим нильпотентных элементов)
а2 — f(a) а + п(а) = 0, а Є Л, (3.12)
i(r) = 2г, г є Л. (3.13)
Примечание І.'Как частный случай, это соотношение и моменты являются однозначно заданными для элементов гиперболических удвоений алгебр бесконечной цепочки Кэли-Диксона (например, дикватернионов, диоктав). Примечание 2. Всякая полупростая алгебра с очевидностью имеет полу-простой центр (обратное, конечно, верно далеко не всегда). Поэтому утверждение теоремы верно для любых полу простых (и, следовательно, для всех сепарабельных) обобщенно-квадратичных алгебр.
Пример. Приведем пример, показывающий содержательность ограничения центра полупростыми ассоциативно-коммутативными алгебрами. Рассмотрим ассоциативную алгебру т. н. дуокватернионов - кватернионов над алгеброй дуальных чисел С: W = Ті <8> С. Элемент w алгебры W представляет собой сумму
w = а + єх, а,хєД (3-14)
особый элемент є, осуществляющий удвоение алгебры кватернионов Н, коммутирует со всеми кватернионными ортами. Центр Z алгебры дуокватернионов состоит из всех элементов вида
г — Х + єр, (3.15)
где А, р - вещественные числа. Как несложно видеть, центр Z не является полупростым (является составным), поскольку совокупность элементов вида єр образует в нем (максимальный) нильпотентный идеал:
(А + єр) єр' = єр! єн єр' = 0.