Нелокальные корреляционные функции в моделях свободных фермионов

• Автор: Григорьев, Сергей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Случайное блуждание аннигилирующих частиц
1.1 Формулировка задачи
1.2 Случайное блуждание частицы по одномерной решетке
1.3 Случайное блуждание частиц по прямой
1.4 Случайное блуждание частиц по кольцу
2 Модель покрывающих сетей и покрывающих деревьев
2.1 Покрывающие деревья
2.2 Теорема Кирхгоффа и принцип включения-исключения
2.3 Модель покрывающих сетей на цилиндре
2.4 Вычисления производящей функции
2.5 Конформная теория поля покрывающих сетей
3 Абелева модель песка
3.1 Формулировка модели
3.2 Вероятности Р, Р'2, Р3 и Р4
3.3 Двухточечная корреляционная функция
3.3.1 Предсказания конформной теории поля
3.3.2 Вычисления для решетки
3.4 Приложение 1: Асимптотика решеточной функции Грина
3.5 Приложение 2: Матрицы для корреляции Р12 на плоскости
4 Корреляционные функции двухкомпонентного покрывающего
дерева с тремя длинными путями в одной компоненте
4.1 Формулировка задачи
4.2 Корреляционные функции
4.3 Обсуждение
5 Заключение
Литература

Посвящается моим родителям.

Введение
Исследование того, как поведение отдельных микрообъектов сложных систем может привести к коллективному поведению в целом является ключевой задачей статистической физики. В случае, когда число микрообъектов огромно, и каждый из них обладает индивидуальным поведением, число необходимых уравнений растет, так что практически невозможно построить модель, которая одновременно соответствовала бы реальности и поддавалась бы точному теоретическому анализу. Поэтому необходимо вводить упрощения и различного рода приближения и искать некоторый компромисс между уровнем сложности модели и возможностью её разрешимости. В данной диссертации рассмотрены различные модели свободных фермионов, которые относятся к классу точно решаемых моделей, но при небольших усложнениях - добавлении различных дефектов, изменении граничных условий, геометрии решетки - разрешимость модели становится неочевидной.
Понятие фермионов повсеместно встречается в теоретической физике. Оно заключает в себе идею упрощенного и, в то же время, специфического типа взаимодействия между микрообъектами. Например, система фермионов в квантовой механике описывается антисимметричной волновой функцией относительно перестановки двух фермионов. Это свойство антисимметрии приводит к тому, что в одном состоянии не могут находиться два фермиона одновременно (принцип Паули), что и порождает взаимодействие, которое ассоциируется в квантовой механике с обменным взаимодействием. Фермиопы подчиняются статистике Ферми-Дирака, классической иллюстрацией которой является перечисление конфигураций п неразличимых шаров, разложенных в N > п ящиков, при условии, что в одном ящике не может находиться больше одного шара.
Как уже было сказано, при описании систем с большим числом частиц в механике мы часто сталкиваемся с серьезными математическими трудностями.

цилиндр (contractible cycles), содержат одинаковое число горизонтальных стрелок в двух различных направлениях, и их вес в det остаётся таким же, как если
бы мы полагали а — 1. Следовательно, содержащие такие циклы конфигурации самосокращаются при разложении определителя det D'v и остаются только члены, соответствующие либо конфигурациям покрывающих сетей с циклами, огибающими цилиндр, либо конфигурациям покрывающих сетей без циклов. Циклы, огибающие цилиндр и соответствующие произведению недиагональных элементов меняют свой знак, поскольку они содержат число горизонтальных ребер в одном направлении на М больше, чем число горизонтальных ребер в противоположном направлении. Соответствующее произведение недиагональных
Рис. 2.7: Покрывающие диграфы на цилиндре высоты N = 6 и периметра М = 10 при: (а) Закрытых граничных условий. Два замкнутых пути х — х и у — у представляют собой нестягиваемые циклы, (б) Открытые граничные условия на нижнем крае цилиндра и закрытые граничные условия на верхнем крае цилиндра. Из трех смежных корню ребер выходят ветви покрывающих деревьев.
элементов будет содержать множитель ам = —ш, или а~м = —о;-1 в зависимости от ориентации цикла. Таким образом, каждый цикл, огибающий цилиндр в заданной ориентации, учитывается дважды, но с различными весами - в одном случае в произведении диагональных элементов матрицы ТФ1’"), в другом случае в произведении недиагональных элементов, которые будут давать множитель ш либо и-1 (в зависимости от ориентации). В общем случае, разложение детерминанта будет учитывать только конфигурации покрывающих сетей, где возможны циклы вокруг цилиндра с прикрепленными к ним ветками покрывающих деревьев. Само разложение представляет из себя полином от ш + со-1 + 2 = £. Степень £ является