Нелинейное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова в квазиклассическом траекторно-когерентном приближении

• Автор: Резаев, Роман Олегович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Глава 1. Одномерное уравнение Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью

1 Класс траекторно-сосредоточенных функций в окрестности точки

2 Система Эйнштейна-Эренфеста

3 Ассоциированное линейное уравнение Фоккера-Планка

4 Функция Грина нелинейного уравнения в классе траекторно-сосредоточенных функций. Оператор эволюции

5 Формула Меллера

Глава 2. Многомерное уравнение Фоккера-Планка с нелокальной нелинейностью

6 Система уравнений Эйнштейна-Эренфеста

7 Структура решения нелинейного уравнения Фоккера-Планка в классе траекторно-сосредоточенных функций
8 Производящая функция для траекторно-сосредоточенных решений ассоциированного уравнения

9 Многомерные полиномы Эрмита. Функция Грина

10 Оператор эволюции и операторы симметрии для нелинейного уравнения
11 Квазиклассические асимптотики с точностью 0{0М'2). Высшие приближения к главному члену
12 Обратное уравнение Фоккера-Планка
Глава 3. Уравнение Фоккера-Планка с нелокальной квадратичной нелинейностью
13 Уравнение Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом и нелокальной нелинейностью
14 Система уравнений Эйнштейна-Эренфеста
15 Траекторно-когерентное решение уравнения Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом
16 Операторы симметрии для уравнения с нелокальной квадратичной нелинейностью
16.1 Задача Коши и оператор эволюции
16.2 Операторы симметрии и сплетающий оператор
16.2.1 Операторы симметрии нелинейного и линейного уравнения Фоккера-Планка
16.2.2 Операторы симметрии и операторная задача Коши
16.2.3 Операторы симметрии и оператор эволюции
17 Фазовые потоки, порождаемые нелинейным уравнением Фоккера-Планка с квадратичным потенциалом
17.1 Пример
Глава 4. Эволюция распределения частиц в электронных пучках
18 Описание взаимодействия частиц в пучках на основе уравнения Фоккера-Планка
19 Фокусировка переходного и дифракционного излучения от изогнутых мишеней 79 Заключение
Приложение А. Система в вариациях
Приложение Б. Функция Грина задачи Коши линейного уравнения Фоккера-Планка

Список литературы
Фундаментальной проблемой в изучении сложных систем (классических, квантовых, биологических и т.д.) является построение и анализ теоретических моделей, учитывающих влияние на систему большого числа случайных факторов. Следует отметить, что одиночное случайное воздействие в таких системах вызывает малое изменение параметров системы, однако суммарный эффект действия большого количества флуктуаций приводит к заметным изменениям в состоянии системы. Учет влияния случайных воздействий на систему может проводиться как в формализме стохастических дифференциальных уравнений (в форме Ито, Стратоновича и др.), так и в формализме уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. В первом случае адекватным методом исследования служит компьютерное моделирование. Аналитические методы более естественно использовать в моделях, основанных на уравнении Фоккера-Планка-Колмогорова. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова первоначально использовалось для описания движения броуновских частиц, т.е. малых, но существенно больших, чем молекулы жидкости, частиц, находящихся в жидкости. Молекулы жидкости сталкиваются с макроскопической частицей, причем количество таких соударений на разных сторонах макрочастицы в общем случае оказывается различным, что приводит к скачкообразным изменениям положения частицы в жидкости, т.е. к флуктуациям. В результате броуновская частица совершает хаотическое движение, при котором невозможно предсказать заранее ее появление в какой-либо наперед заданной точке пространства. Тем не менее, можно найти вероятность обнаружить броуновскую частицу в заданной области. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова описывает эволюцию плотности распределения вероятностей расположения частиц. Функция плотности вероятности дает возможность вычислить различные характеристики броуновской частицы, такие как средние значения импульса, координаты, энергии, дисперсии и т.д. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова может описывать не только поведение броуновской частицы, но целый ряд явлений (в термодинамике, химии, эволюционной биологии и различных социальных науках), имеющих стохастическую природу (см., например, [1,2]). Повышенный интерес вызывают стохастические процессы, описываемые уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова с различными типами нелинейности (см., например, [3-20]).
Одним из наиболее перспективных приложений уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова является атомная физика, где в последнее время получен целый ряд интересных результатов, связанных с воздействием лазерного излучения на поступательные и внутренние степени свободы атомов. За последние два десятилетия достигнуты большие успехи в лазерном охлаждении [21] (Нобелевская премия за 1997 г. (С. Чу, К. Коэн-Таннуджи, У. Филлипс)), захвате и удержании атомов с образованием периодических и квазипериодических пространственных структур [22-25]. Существенный прогресс в управлении движением атомов привел к формированию новых направлений в атомной оптике [26] и интерферометрии [27], использующих когерентные атомарные пучки с заданными свойствами в прецезионных измерениях атомарных констант и детальных исследованиях взаимодействий таких атомарных ансамблей с поверхностями и другими физическими объектами. Также рассматриваются возможности использования когерентных ансамблей из нейтральных атомов в квантовых вычислениях [28,29]. Проблема описания движения атома в неоднородно поляризованных световых полях достаточно сложна из-за сильной корелляции между внутренними и поступательными степеня-

x к + 2лМ + *3 + ffl - + g»i (- ( }
L ftf, j v 'J v '
Решение системы (14.2) имеет вид
P(t, z0) = e~*i/2 jp0 cos(Sii) - J- [^o +Po(y - x(b2 + d2)j^ sm(wii)|, (14.3)
X(t,z0) = е-Л*/2[Жо cos(wii) + ^—2+
I* Ach
- x(6i + di))(l - xl (/?i — 2 xr(&2 + d2))
где обозначено Si = у S^ — (0i/2)2, /?j = /3 + x(ai + Cx + 62 + d2) и
= x(^2 + d2)(P + x(ai + Ci)) + ( Из (14.4) находим матрицант системы (14.2):
U(t) = ~e~^t/2x (14.6)
и>1
Wi cos(wii) — — x(62 + d2)J sin(Sit) — sin(wii)
r/^i
(ctig + x(bi + di))(l - x(a2 + c2)) sin(Sit) Si cos(Sii) + [y _ M&2 + ^2)J sin(Sit) Для моментов второго порядка получим систему уравнений ( q(0’2^ = — 2лг62а^0,2^ + 2(1 — xra2)a(1,1
< a^1’1) = —(uiq + xbi)a^0,2^ — (j3 + x{a, + бг))^1’1) + (1 — xa2)a^2,0 (14-7)
{ d(2-°) = -2(w2 + x&i)«*1-1) - 2(0 + ха^а*2-0) + 2DTn,
решение которой имеет вид
a(0,2)(t) = 2(1 - ха2)е ^ + ^ (1 -ха2)е & _ 2~с^ cos(2Si)+
2xb2 — Р 2и>о + 2xb2(xb2 — 0) '
+ (2^62Сз - РС3 + 2SC2) sin(2Si)^ 1
аД’Ч(г) = е ^^С1! + С72 cos(2a;3) + (0з sin(2wt)^

х&2(1 - xa2)TuD
(5wl
- ^Ы0 - *Ы)е е _ — ((2хЬ2С2 - 0С2 + 2ЙС7з) cos(2St)+
(1-*02X2x62-/?) 2(1 — >«х2) V
+ (2хЪ2С3 - рС3 - 2йС2) sin(2St)) + №K +* *>2^ (14
' Рщ
где обозначено S = JuJq — (0/2)2 и
Р = Р + х{а{ + Ъ2), (14.9)
й2 = хЪ2(р + хаг) + (ш2 + хЬх)(1 - ха2). (14.10)
В (14.8) выделим слагаемое, убывающее с течением времени по экспоненциальному
закону, поэтому при 1 —> оо для моментов второго порядка справедливы следующие
асимптотические оценки:
а(0,2) (4) = (1-х^ГпД + 0{е_Щ)> а(м) (<) = ^(1у«2)7пД + 0(е_д4);
05§ 0ш§