Моделирование равновесных свойств квантовых систем методом Монте-Карло в расширенных ансамблях

• Автор: Вознесенский, Михаил Андреевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Методы и алгоритмы

1.1 Выражение для статистической суммы системы тождественных

частиц

1.2 Метод интегралов по траекториям

1.3 Метод энтропического моделирования

1.4 Алгоритм Ванга — Ландау

1.5 Метод расширенного ансамбля

2 Метод расширенного ансамбля для малых квантовых систем

2.1 Алгоритм Ванга — Ландау в методе расширенных ансамблей

2.2 Эстиматоры
2.3 Точные и конечномерные выражения для систем невзаимодействующих частиц в гармоническом иоле
2.4 Система невзаимодействующих частиц
2.4.1 Две частицы
2.4.2 Три частицы
2.5 Вычисление энергии
2.6 Система тождественных частиц с кулоновским отталкиванием в
гармоническом поле

2.6.1 Две частицы
2.6.2 Три частицы
2.7 Системы в кулоновском иоле притяжения
2.7.1 Аппроксимация для кулоновского потенциала
2.7.2 Две частицы с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле
2.7.3 Атом гелия
3 Обобщение метода
3.1 Системы многих частиц
3.2 Система невзаимодействующих частиц в гармоническом поле
3.3 Система частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом
внешнем поле
3.3.1 Пять частиц
3.3.2 Шесть и семь частиц
3.4 Параллелизация вычислений
4 Метод плотности состояний
4.1 Квантовая частица в гармоническом поле
4.2 Система двух различимых квантовых частиц с кулоновским отталкиванием в гармоническом поле
Заключение

Введение
В далёком 1965 году, на заре компьютерной эры, Гордон Мур, впоследствии один из основателей корпорации 1гй;е1, обратил внимание на интересную закономерность в развитии компьютеров. Он заметил, что новые модели микросхем разрабатывались спустя более или менее одинаковые периоды после появления их предшественников, а ёмкость их при этом возрастала каждый раз примерно вдвое. Если такая тенденция продолжится, заключил Мур, то мощность вычислительных устройств со временем будет экспоненциально возрастать. Данная закономерность известна как закон Мура и оказывается справедливой и по сей день. Столь стремительный рост мощностей вычислительных систем открывает поистине фантастические возможности для компьютерного моделирования и численных эскпериментов, зарекомендовавших себя как один из верных способов решения задач из всех областей знаний.
Одним из наиболее мощных, но зачастую требовательных к ресурсам, стохастических методов является метод Монте-Карло. Идея использовать случайные явления в области приближённых вычислений возникла ещё в XIX веке, когда появилась работа Холла об определении числа 7г путём бросания иглы на разграфлёнщчо параллельными линиями бумагу. Однако, годом рождения метода Монте-Карло принято считать 1949-й, когда вышла статья Метрополиса и Улама [1], содержащая основания и общее описание статистического подхода к решению интегральных и диффренциальных уравнений, возникающих в

Таблица 2: Отношения статистических сумы двух перестановок системы двух невзаимодействующих фермионов в трёхмерном гармоническом ноле, {Zm/Z2ъ)Cl — расчёт в сравнении с {Zol/Z2o)lh — по точным формулам и (озУго)., — по формулам конечномерного приближения. Статистическая погрешность А (ш/го) рассчитана по последним 600-м сериям.
ь {г01/г20)с1 А {Z0l/Z2o) (гм/г2011 01/г2а)ех 1 - (Zol/Z2o)th
0,25 0,00191 ± 0,00001 0,00192295 0,00192295 0,99807705
0,5 0,01474 ± 0,00001 0,01469148 0,01469148 0,98530852
1 0,09886 ± 0,00003 0,09868617 0,09868561 0,90131383
2 0,4420 ± 0,0002 0,44174415 0,44171878 0,55825585
3 0,7420 ± 0,0004 0,74158196 0,74146818 0,25841804
4 0,8956 ± 0,0002 0,89591824 0,89571378 0,10408176
5 0,9601 ± 0,0001 0,96037803 0,96014358 0,03962197
6 0,98516 ± 0,00007 0,98523751 0,98502916 0,01476249
7 0,99471 ± 0,00006 0,99454365 0,99438617 0,00545635
8 0,99796 ± 0,00005 0,99798925 0,99788280 0,00201075
9 0,99933 ± 0,00002 0,99925982 0,99919347 0,00074018
10 0,99981 ± 0,00004 0,99972764 0,99968873 0,00027236
11 0,99982 ± 0,00004 0,99989979 0,99987802 0,00010021
12 0,99987 ± 0,00004 0,99996314 0,99995137 0,00003686