Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка

• Автор: Тарасов, Василий Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 298 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Дробно-интегральные модели фрактальных распределений
1.1 Дробно-интегральная модель фрактальных сред
1.2 Гидродинамика фрактальных сред
1.3 Динамика фрактальных твердых тел
1.4 Электродинамика фрактальных распределений зарядов и полей
1.5 Принцип стационарности действия для фрактальных сред
1.6 Уравнения Чепмена-Колмогорова для фрактальных сред
1.7 Статистическая механика фрактальных распределений
Глава 2. Модели физических систем со степенной нелокальностью
2.1 Динамика систем со степенным нелокальным взаимодействием
2.2 Метод векторного интегро-дифференцирования дробного порядка
2.3 Электродинамика со степенной нелокальностью
2.4 Модели статистической механики со степенной нелокальностью
2.5 Дробные градиентные и гамильтоновы системы
Глава 3. Модели физических систем со степенной памятью
3.1 Электродинамика со степенной памятью
3.2 Динамика неголономных систем с памятью
3.3 Дискретные физические системы с памятью

Глава 4. Модели квантовых систем дробного порядка
4.1 Квантовая динамика дробных гамильтоновых систем
4.2 Квантовая динамика экранированных открытых систем
4.3 Квантование интегро-дифференцирования дробного порядка
Заключение
Приложение: Интегрирование дробного порядка
Список литературы

Введение
Актуальность темы. В настоящее время наблюдается заметный рост интереса физиков теоретиков к методам дробного математического анализа (см. например, монографии [320, 327, 59, 171, 306, 55], редактируемые сборники [86, 133, 234, 152]. обзоры [180, 326, 191, 181]). В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями интегро-дифференцирования дробного порядка к описанию широкого класса физических процессов и явлений, имеющих место в системах со степенной нелокальностью, со степенной памятью и фрактальностыо.
Актуальной задачей современной теоретической физики является исследование явлений и систем, характеризующихся нелокальностью, эредитарностью, немар-ковостыо, фрактальностыо, негамильтоновостыо. Последние годы уделяется большое внимание исследованиям степенной нелокальности и степенной долговременной памяти. Эти свойства изучаются для систем различной физической природы, относящихся к различным масштабам (от наносистем до космологии), для квантовых и классических систем, для непрерывных и дискретных. В настоящее время зарождаются основные физические концепции и создаются математические методы одного из современных направлений теоретической физики, называемого дробной динамикой (fractional dynamics). Фактически в настоящее время рождается новый раздел физики - дробная динамика. Правда этот термин еще не является устоявшимся в русскоязычной научной литературе, что нельзя сказать об англоязычной. В этом разделе теоретической физики рассматриваются в первую очередь общие свойства физических процессов со степенной памятью, со степен-

Отметим, что оператор (31) не является дивергенцией дробного порядка. Используя производные функции А — А(г, і) по координатам
У?Л = сГЧАг )»)ф (32)
обобщенная дивергенция (31) может быть представлена в виде
Эгур = , Біув(Ии) = У£(Аик).
Для В — 3 и (1 = 2 имеем У*Д = дА/дхк- Правило почленного дифференцирования для У^ не выполняется, и следует использовать соотношение
у£(/Ш) = А7%{В) + с{В,й,г)ВЧкА. (33)
В общем случае V/?(1) = с(В, ф г) (й — 2)ац./г2.
Уравнение (28) с использованием (29) и (31) моно записать в виде
£<1ллу°=КШпа+л сі''°(и)) лу°' (з4)
Это уравнение описывает полную производную по времени от объемного интеграла дробного порядка для физической величины А = А(г,и, і) в рамках дробноинтегральной модели фрактальных сред. При В = 3 получаем обычное выраже-
ние, используемое в механике сплошных сред [7].

Получим дифференциальное .уравнение, которое связано с уравнением
• [ р{т, і) сЛД = 0. (35)

Из уравнений (35) и (34) для А = р(г, £) получаем

Полагая, что уравнение (36) выполняется для любых областей IV, получаем
^ р + рПіу0(и) = 0. (37)

<1Ь ,