Методы интегрируемых систем в теории представлений

• Автор: Лебедев, Дмитрий Ростиславович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 с.

Содержание
1 Тороны т’ Хоофта и многомерные © - функции
1.1 Граничные условия и топология калибровочных полей на торе
1.2 Тороны на решетке
1.3 Экстремумы твистованного действия Игучи- Каваи
и представления конечной группы Гейзенберга
1.4 Антисимметричные формы и пфаффианы
1.5 Конечная группа Гейзенберга и экстремумы действия
1.6 Представ тени я п<і%х
1.7 Экстремумы действия и предо гавления С
2 Нелокальный аналог теории Гельфанда Дикого
2.1 Теория нелокальных интегрируемых уравнений в бесконечной полосе
2.2 Билинейный формализм Хироты для нелокальных уравнений
2.2.1 Билинейный формализм для Кс1У£
2.2.2 Билинейный формализм для МКсГУ£
2.2.3 Нелокальное обобщение двумеризованной решетки Тоды в
билинейном формализме
2.2.4 У-солитонные решения
2.3 Теория нелокальных интегрируемых уравнений на окружности
2.3.1 Вещественность оператора Т
2.3.2 Оператор Т и граничная задача тта торе
2.3.3 Операторная форма уравнения Г’Кс1д
2.3.4 Теорема о приведении к каноническому виду
2.3.5 Вариационные производные
2.3.6 Высшие уравнения РКсІУ^
2.3.7 Гамильтонов вид высших РКсГУ^
2.3.8 Иерархия РКс1У£
3 .4, В, С, Б—алгебры Ли квантовых торов
3.1 Серия Лц, /г = (7ц...., Нк)
3.2 Серия Вг,. її = (Лі , Ніс)
3.3 Серия Си, Ъ = (Лі,..., П,к)
3.4 Серия Бц, к = (Ні,..., /д.)

4 Квантование пространства модулей (7-монополей
4.1 Различные реализации Янгиана У (д)
4.2 Построение представления У(д) и Я(Ь)
4.3 Симгтлектические листы Янгиана
и пространство модулей монополей
4.4 Представление Цдд)г=о
4.5 Представление ид(д)
4.6 Т/9(д1„) в терминах квантового тора
4-7 {!„{д) ® Г7$(д)-бнмодуль
5 Квантовый метод разделения переменных и
теория представлений
5.1 Интегрируемые структуры на Т*СЬ(М)
5.2 Спектральная башня ассоциированная с Т'*(7Ь(ЛГ)
5.3 Обобщенный метод Гельфанда-Цейтлина
5.3.1 Метод орбит для (7Ь(1У, К) и представление Гельфанда-Цейтлина
5.3.2 Янгиан У(д1(М)) и представление
Гельфанда-Цейтлина
5.4 Применение к квантовым интегрируемым системам
5.4.1 Открытая цепочка Тоды
5.4.2 Гиперболическая модель Сазерленда
5.5 Связь с КМОЗ
6 Заключение

Введение
В конце семидесятых годов были сформулированы два базовых подхода к квантовым интегрируемым системам. Олынанепкий и Переломов открыли явную связь между теорией представлений некомпактных полупростых групп Ли и системами Сазерленда-Калоджеро-Мозера (СКМ) [1]-[3]. Методами теории представлений удалось решить классические (квантовые) системы СКМ. Вскоре Костант и Каждан реализовали этот проект для более общих классов интегрируемых систем включая открытые квантовые цепочки Года [4|, [5|. Волновые функции СКМ и открытых цепочек Тода оказались зональными сферическими функциями [6], [7| и функциями Уиттекера |8]-[10], соответственно. Существует обобщение этого метода на более широкие классы интегрируемых систем, отвечающих аффинным алгебрах! Ли и аффинным квантовым группам (см. [11], [12] и ссылки в них). Однако до сих нор этот подход не достаточно эффективен для построения явных представлений волновых функций в силу аналитических трудностей соответствующей теории представлений.
В тоже самое время был разработан другой подход для решения и исследования квантовых интегрируемых моделей. В работах Фпдцеева, Кулиша, Склянина и Тах-гаджана [13]-[16] . был сформулирован квантовый метод обратной задачи рассеяния (КМОЗ). Этот мощный метод был успешно применен для исследования широкого спектра интегрируемых моделей [18]. Тесно связанный с КМОЗ квантовый метод разделения переменных был сформулирован в [19], [20]. Неоспоримым достоинством этого метода является возможность применения в теориях связанных с бесконечномерными группами Ли, т.е. КМОЗ существенно оперирует с бесконечномерными структурами. В подходе, базирующемся на теории представлений вещественных полупростых групп Ли, такие структуры скрыты и поэтому он сталкивается с серьезными аналитическими трудностями при переходе к бесконечномерным группам.
Поэтому исследование взаимосвязей между вышеупомянутыми подходами является одним из приоритетных направлений современной теоретической и математической физики. Естественно ожидать, что любое продвижение в направлении от КМОЗ к теории представлений может открыть новые структуры в аналитической теории представлений и наоборот. Одним из главных результатов этой работы является описание связи КМОЗ, точнее метода квантового разделения переменных с теорией представлений.
Начнем с неформального общего определения квантовой интегрируемой системы. Общая квантовая интегрируемая система может быть описана четверкой данных (А, Н, л, 7^), где А является С*-алгеброй, гамильтониан Н является элементом А, который определяет эволюцию квантовой системы, Н определяет Гильбертово пространство состояний системы и 7г есть некоторое представление алгебры А унитарными операторами, действующими в "Н. Под интегрируемой структурой динамической системы (А, Н, я, И) будем понимать максимальную коммутативную подалгебру I С А такую, что Н € I. В невырожденном случае, условие максимальности эквивалентно условиям на размерность подалгебры I равной половинной размерности А. В том случае, когда А включается в гладкое семейство алгебр Ац таких, что Ао является коммутативной подалгеброй, последнее условие означает с1нп(8рес(1)) = |сИт(Зрес(А0)). Подалгебра
'обчор ранил о периода развития метода см. [17].

единственно, (с точностью до калибровочных преобразований (1.41), (1.42)) при выполнении условия ((1.62)). Решение существует и не единственно, если выполнено условие (1.63). С очевидностью уравнения (1.50), (1.63), как и уравнения (1 50), (1.63) эквивалентны уравнению
Р{{п) = а1ЛГк- (1.77)
где пфаффиан РДп.) определяется уравнением (1.46). В частности, при (1 = А уравнения (1.50), (1.63), как и уравнения (1.50), (1.63) эквивалентны уравнению являются следствием (1.77). Таким образом уравнение (1.77) является необходимым (и достаточным при д = 4) условием существования решений уравнения (1.40). В частном случае (]. = А этот факт быв установлен в работах |Ь6|,[Ь9]. В общем случае уравнение (1.63) для некоторого целого г является необходимым и достаточным условием существования решения (1.40). Необходимым н достаточным условием единственности решения (с точностью до калибровочных преобразований (1.41), (1.42)) является уравнение (1.62).
До сих пор мы рассматривали решения Д, 6 0Г(;;). Простейшее преобразование Рп -> Рпе**-1»* Ям, -» позволяй г получить решения Д, £ ви{IV):
как и выше, решения Д, определяются матрицами Рм,, Ям, посредством (1.53) и (1.59).
Замечание 1.1 Выше было приведено координатное представление группы О, отвечающее правому действию группы. Если вместо (1.54) рассмотреть условие
Ф{дК) = х~1(Ь)Ф(д), Л е Я, д е С (1.78)
для определения индуцированного представления 1пс1^, то группа б в нем будет действовать, левыми сдвигами. Если в качестве подгруппы Н ваять подгруппу, порожденную {е?1’еЕ}1=1,...,к, то это дает конструкцию импульсного представления. Все эти представления унитарно эквивалентны по теореме Маккея, и могут быть реализованы следующим образом:
(1.79)
2) = 1лд ® ... ® ® ... ® 1дг1.
Тк+1 = 1^г ® • • - ® Я; ® . . . ® 1мк , где
А1 = Р%, Д = Я]м,1 (1-80)
для левого координатного представления, и
А — Я^,1 ; Д = Д/( ,
А = Я , Д = Р1,
для правого и левого импульсного представления соответственно.
(1.81)