Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в теории нелинейных волн в самогравитирующих сжимаемых средах и его приложение к задачам астрофизики

• Автор: Зиновьев, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Содержание
Общая характеристика работы
Г лава 1. Введение. Методы анализа нелинейных моделей
физических процессов
1.1. Метод обратной задачи
1.1.1 Преобразования Бэклунда
1.1.2 Метод обратной задачи рассеяния
1.1.3 Метод преобразований Дарбу
1.2 Симметрийный подход
1.3 Точные решения уравнений движения вязкой жидкости
Глава 2. Обобщенная подстановка Коула-Хопфа
2.1 Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+1.
Точно интегрируемые модели одномерных течений сжимаемой жидкости
2.1.1 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1 +
2.1.2 Рекуррентные соотношения
2.1.3 Общая схема и примеры ее использования
2.1.4 Система уравнений Эйлера одномерного течения сжимаемого
газа при нулевом давлении и внешних силах
2.1.5 Обобщенное базовое соотношение
2.1.6 Выбор функции Ф в различных физических задачах
2.1.7 Вид первых интегралов гидродинамических уравнений и свойства их решений
2.1.8 Расчет ударных волн в сжимаемом вязком газе
2.1.9 Матричное расширение
2.2 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+2. Точно интегрируемые модели двумерных течений сжимаемой жидкости
2.2.1 Обобщенная подстановка Коула-Хопфа в размерности 1+2
2.2.2 Рекурентные соотношения
2.2.3 Общая схема
2.2.4 Комплисифицированная форма базовых соотношений

2.2.5 Уравнения гидродинамического типа
2.2.6 Уравнения Эйлера сжимаемой жидкости
2.2.7 Построение точных решений уравнений двумерных течений
2.2.8 Выбор функций биН
Глава 3. Гидродинамические волны в самогравитирующих сжимаемых средах
3.1 Одномерное течение вязкой жидкости с переменной плотностью
3.2 Одномерное течение вязкой жидкости в собственном поле
тяготения
3.3 Модифицированное уравнение Бюргерса
3.4 Одномерное адиабатическое течение идеальной жидкости
3.5 Дополнительные классы интегрируемых моделей
3.5.1 Решение с Хаббловским потоком
3.5.2 Течение на полупрямой
3.5.3 Модели газовой динамики
3.6 Динамика невязкой самогравитирующей пыли
3.7 Сферически и цилиндрически симметричные течения самогравитирующей идеальной сжимаемой жидкости
3.8 Классы точных решений уравнений вязких течений
Глава 4. Формирование структур в самогравитирующих сжимаемых средах вследствие джинсовской неустойчивости
4.1 Джинсовская неустойчивость в одномерном случае
4.2 Джинсовкая неустойчивость для распределений со сферической симметрией
4.3 Обратная волна сжатия
4.4 Заключение
4.5 Приложение
Литература
Общая характеристика работы.
Актуальность работы.
Нелинейные волны в сжимаемой среде являются одной из самых распространенных задач теоретической физики, имеющей приложение в различных ее разделах, начиная от физики атмосферы и заканчивая астрофизикой и космологией. Исследование возникновения и распространения ударных волн при различных физических условиях и свойствах среды является типичной задачей в таких исследованиях [33]. Одной из часто возникающих задач в астрофизике является описание различных явлений, сопровождающихся высвобождением огромных энергий за небольшой промежуток времени в поле тяготения [192], создаваемом самим веществом исследуемого объекта. К таким явлениям относятся, например, взрывы сверхновых и сбросы оболочек звезд, которые сопровождаются возникновением ударных волн, распространяющихся как внутри звезд, так и в газопылевых облаках и межзвездной среде [216]. Для космологии одной из фундаментальных задач является описание возникновения крупномасштабной структуры в распределении галактик, которая так же связана с проблемой описания динамики сжимаемой среды в собственном поле тяготения. Поэтому общая задача описания динамики нелинейных волн в сжимаемой самогравитирующей среде является актуальной задачей.
К настоящему времени существует целый ряд математических методов, позволяющих исследовать течения сжимаемой среды в различных частных случаях. Широко распространенным подходом является численный анализ уравнений динамики жидкости. Однако, несмотря на его эффективность, он обладает рядом недостатков, которые заставляют искать новые методы и подходы к решению задач гидродинамики на основе аналитических методов построения их точных решений. Среди таких методов в динамике сжимаемой среды наиболее широко распространенным является метод годографа [33, 131]. Этот метод для некоторых частных задач применялся к исследованию
Рис. 2. График зависимости скорости течения газа (отн. ед.) от координаты в начальный момент времени (для комбинации двух экспонент). Возьмем решение уравнения (2.27) в виде комбинации трех экспонент:

-к2х+а>21
+ Аъе
-къ х+й)}1
и проведем аналогичные вычисления:

Тхх _ Ае~к'х+щ1 + А2к22е-+щ‘ + А&е*****
Тх ~ А1к1е-к'х+а'‘ + А2к2е~кгХ+0>г‘ + А3к3е~к>х+т>‘
ТХ1 _ Аік1ще-к'х*аі‘ + А2к2й)2е~к‘ + Аъкъ(оъе-к‘
А1к] е
-к,х+0)А
+ А2к2е
2 -к-уХ+ФЛ
2 -кх+Ф-Л
Графическое представление этих решений выглядит следующим образом:

Рис. 3. График зависимости плотности (отн. ед.) от координаты в