Метод максимальной энтропии в теории случайно-возмущенных динамических уравнений и его приложение к задачам теоретической физики

• Автор: Миронов, Павел Павлович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 148 с. : ил.

Содержание

Общая характеристика работы

Глава 1. Введение

1.1 Методы анализа динамических систем

1.1.1 Методы качественного анализа решений динамических уравнений

1.1.2 Методы решения стохастических динамических уравнений

1.2 Методы усреднения динамических уравнений

1.3 Методы замыкания динамических систем уравнений

Глава 2. Метод максимальной энтропии

2.1 Общее описание

2.2 Многомерный метод максимальной энтропии с высшими

моментами
2.3 Метод Рейнольдса для конечномерных динамических систем
2.4 Метод максимальной энтропии для стохастических систем
2.5 Полная система уравнений для моментов
2.6 Удельная плотность вероятности
2.7 Системы с квадратичной нелинейностью
2.8 Квадратичное представление динамических систем
2.9 Заключение
Глава 3. Состояние с максимальной энтропией
3.1 Описание теории
3.2 Уравнение Ферхюльста
3.2.1 Усредненное уравнение Ферхюльста
3.2.2 Замкнутая система уравнений Рейнольдса
3.2.3 Стационарная точка и ее устойчивость
3.2.4 Аналитическое решение усредненной системы
3.2.5 Анализ устойчивости аналитического решения
3.2.6 Выводы
3.3 Система Вольгерра-Лотки
3.3.1 Усредненные уравнения Вольтерра-Лотки
3.3.2 Метод максимальной энтропии и замкнутая система усредненных уравнений Рейнольдса
3.3.3 Стационарная точка и ее устойчивость
3.3.4 Состояние с максимальной энтропией
3.3.5 Асимптотическая форма уравнений при большой дисперсии
3.3.6 Выводы
3.4 Уравнения Эйлера вращения твердого тела
3.4.1 Анализ усредненных уравнений Эйлера
3.4.2 Выводы
3.5 Модель Лоренца
3.5.1 Анализ модели Лоренца
3.5.2 Выводы
3.6 Случайно-возмущенный математический маятник
3.6.1 Квадратичное представление
3.6.2 Анализ модели стохастического маятника в квадратичном представлении
3.6.3 Выводы
3.7 Анализ эффективности применения ММЭ к динамическим
моделям
Глава 4. Модели образования дефектов под действием флуктуирующего излучения
4.1 Описание теории
4.2 Модель атомной кластеризации под действием флуктуирующего радиационного фона
4.2.1 Общее описание модели
4.2.2 Состояние с максимальной энтропией
4.3 Модель атомной клас теризации под действием случайного радиационного излучения с диффузией
4.4 Уравнение нелинейной диффузии в кристаллической среде
4.4.1 Описание модели
4.4.2 Анализ стохастического уравнения нелинейной диффузии
4.5 Заключение
Глава 5. Модель солнечного ветра с учетом турбулентных флуктуаций плазмы
5.1 Описание теории
5.2 Решение задачи о солнечном ветре
5.2.1 Случай адиабатичности потока частиц солнечной плазмы
5.2.2 Случай изотермичности потока частиц солнечной плазмы
5.2.3 "Сшивка" решений для двух уравнений состояния солнечной
плазмы
5.3 Расширенная нестационарная модель солнечного ветра в декартовых координатах
5.4 Расширенная нестационарная модель солнечного ветра в сферических координатах
5.5 Заключение
Литература

■О =ЛЛх’0 + єа, а = И,
(2.9)
где предполагается, что случайные внешние возмущения еа обладают тем свойством, что при усреднении по ансамблю всех возможных реализаций этих случайных процессов их математические ожидания равны нулю:
При этом все детерминированные составляющие обобщенных силовых функций, действующих на систему, должны быть учтены в записи силовых функций /в(х
Вывод уравнений Рейнольдса производится следующим образом. Случайные внешние возмущения системы приводят к возникновению случайных возмущений ее динамических параметров, которые можно представить в следующем виде:
где Х=<х> - средние по ансамблю динамические переменные системы, а х' -их случайные возмущения с нулевыми математическими ожиданиями: <х'>=0 . Следуя методу Рейнольдса [17], уравнения для усредненных параметров системы (2.10) будут иметь следующий вид:
Здесь Р(Х,0 = - усредненные силовые функции, а М -совокупность тензоров всех моментов случайных флуктуаций с компонентами Мк(!)=М^ ,у =<хк[ • ■ > , и введен мультииндекс
к = (к],...,кы), к=кі+...+ к„. Представляя силовые функции /Од) в виде ряда Тейлора в окрестности точки х = Х , результат вычисления усредненной силовой функции С можно записать в следующем виде:
Л' — УС 4- Л' , х — УС + Л' ,
Ха ==^(ЛГ,М,0, а = N.
(2.10)
1*1-0 ЙХ 1*1=