Метод квазиклассически сосредоточенных состояний для уравнения типа Хартри с периодическими внешними полями

• Автор: Лисок, Александр Леонидович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 102 с.

Гл;ша 1. Задача Флокс для уравнения типа Хартрн в классе траскторно-сосредо-точеиных фупкдш'і

1 Постановка задачи и обозначения

2 Траекторно-сосредоточеиные функции

3 Система уравнении Гамнльтона-Эрснфеста

3.1 Система уравнений Гамнльтона-Эрснфеста для упорядоченных по Вейлю операторов

3.2 Система Гамнльтона-Эрснфеста, не содержащая постоянную Планка

3.3 Система Гамнльтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий

4 Задача Флокс для параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёдннгера
5 Квазнэнергстнчсские спектральные серии оператора типа Хартрн (mod 0(Л3^2)) G Квазнэнергетнческне спектральные серни оператора типа Хартрн (mod 0(/i5/2))

7 Оператор Флокс

Глава 2. Геометрические фазы уравнения типа Хартрн, отвечающие квазпэперге-тичеекнм спектральным сериям
8 Геометрические фазы траскторно-когерентпых состояний
9 Геометрические фазы уравнения типа Хартрн в поле одномерного гармонического осциллятора и переменном электрическом иоле с квадратичным нелокальным потенциалом
9.1 Система Гамнльтона-Эренфеста
9.2 Ассоциированное линейное уравнение Шрёдннгера
9.3 Квазнэнергетнческне спектральные серии и фаза Ааропова-Апапдапа
10 Геометрические фазы уравнения типа Хартрн в поле гармонического осциллятора с нелинейным потенциалом гауссовского типа
10.1 Уравнение типа Хартрн в поле многомерного гармонического осциллятора, постоянном п однородном магнитном поле п переменном электрическом поле с нелинейным потенциалом гауссовского типа
10.2 Система Гамнльтона-Эрснфеста и ассоциированное уравнение Шрёдннгера
10.3 Квазпэнергин и геометрические фазы
10.4 Геометрические фазы уравнения типа Хартрн в поле одномерного гармонического осциллятора н переменном электрическом поле с нелинейным потенциалом гауссовского типа
Глава 3. Оператор эволюции уравнения типа Хартрн с квадратичным потенциалом
11 Уравнение типа Хартрн н система Гамнльтона-Эрснфеста
12 Параметрическое семейство ассоциированных линейных уравнений Шрёдннгера
13 Функция Грина уравнения типа Хартрн
14 Операторы симметрии уравнения типа Хартрн Заключение
Приложение А. Система в вариациях Список л іггературы

Нелинейные модели описывают широкий класс явлений, играющих фундаментальную роль и современной физике. Эти модели, как правило, основываются на нелинейных уравнениях математической физики. Особый интерес представляют уравнения в многомерных пространствах с переменными коэффициентами (внешними полями) и различными видами нелинейности. Разработка аналитических методов интегрировании таких уравнений представляет актуальную проблему по только для математической физики, по и для физических приложений, описываемых этими моделями. Одним из нелинейных уравнений, которое служит основой описания различных моделей квантовой теории и нелинейной оптики, является уравнение типа Хартрп.
Точно решаемые задачи математической физики исключительно важны, поскольку » позволяют проиллюстрировать основные положения н выводы рассматриваемой теории
или модели. Однако такие задачи чаще всего возникают вследствие упрощения исследуемой модели. Для нелинейных моделей с переменными коэффициентами фактически отсутствуют точные аналитические методы интегрирования, и поэтому проблема разработки различных асимптотических методов для них особенно актуальна.
В линейных задачах математической физики эффективными оказались асимптотические методы, получившие название квазиклассическпх. Квазнкласснческое приближение естественно возникло в квантовой механике, поскольку одним из постулатов квантовой теории является принцип соответствия который предъявляет к теории требование, чтобы в пределе ІІ —> 0 квантовая динамика переходила в соответствующую классическую. С другой стороны, форма квазиклассическпх решений определяется тем, « что основные квантовомехаиичсскис уравнения содержат параметр II при старших производных. Например, для уравнения Шрёдингера имеем
ІП— = П(Ф, ПЦ) = Щ7,хН), р= -Ш. (0.1)
Здесь Н(р, х, і) — вейлевский символ оператора 'Н(і). Существует широкий круг задач, в которых параметр й можно считать малым, и, следовательно, возникает математическая задача о построении приближенных асимптотических решений этих уравнений. Математический аппарат решения проблемы соответствия получил название метода квазиклассическпх асимптотик.
Исторически сложились два подхода к решению этой проблемы. В первом из них, % предложенном Борном [1], квантовая система приближенно описывается классическим
статистическим ансамблем, который определяется квазнклассической волновой функцией. Строгое обоснование этого подхода основывается на алгоритме построения квазн-класспческих решений волновых уравнений, который задаётся каноническим оператором Маслова [2-С]. В этом случае соответствие результатов квантовой и классической теорий проявляется в том, что главный член асимптотического разложения матрицы плотности квантовой системы является при Л —» 0 решением уравнения Лнувилля.
В основе второго подхода, предложенного Эренфестом [7], лежит представление о классических уравнениях движения как о пределе при Л —> 0 уравнений движения для средних значений соответствующих квантовомеханических величин. В рамках такого представления соответствие между квантовыми наблюдаемыми, имеющими клас-* снческнп аналог, и классическими наблюдаемыми понимается в следующем смысле:

квантовые средние по некоторым (специально выбранным - квазнкласснчсскн сосре-доточенным) нестационарным состояниям должны в пределе при h —> 0 переходить в фазовую плотность, представляющую собой классическую наблюдаемую, вычисленную па характеристиках уравнения Лнувилля.
Подход Эренфеста связан с представлением квантовомеханических состояний в виде волновых пакетов, локализованных в окрестности положения частицы на классической траектории. С математической точки зрения локалнзованность означает, что квантовые средние по таким состояниям от операторов координат и импульсов в пределе при h -> О являются решениями классических (гамильтоновых) уравнений движения
lim(z) = Zci(t, z0), O^t^T. (0.2)
/і—>
ф Условие (0.2) было названо [8,9] условием траекторией когерентности. Прагматическая сторона этого подхода, но существу, связана с представлением волновых пакетов как решений (точных или приближенных по h —У 0) уравнения Шрёдпнгера (0.1), удовлетворяющих условию траскторной когерентности (0.2). Эта задача первоначально была решена для случая движения частиц в заданном потенциальном поле В.М. Бабичем и Ю.П. Даниловым [11] и позднее для уравнения Шрёдпнгера в произвольном электромагнитном поле В.Г. Багровым, В.В. Беловым и И.М. Терновым [8-10] на основе метода комплексного ростка Маслова [12-1С]. Подробную библиографию но этому вопросу можно найти в работах [17-20].
В работах [18,19,21-23] был развит новый подход в квазнклассичсском приближении для нерелятивистских уравнений квантовой механики. Суть этого подхода состоит в том, что в классе квазнкласснчсскн сосредоточенных состояний средние значения наблюдаемых приближенно (с любой степенью точности 0(Фл+1У2), h —> 0, N > 0) определяются но решению конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно квантовых средних базисного набора наблюдаемых теории (в случае, например, уравнения типа Шрёдпнгера этот базис - универсальная обертывающая алгебра алгебры Гейзенберга-Вейля). Такая система для уравнения Шрёдпнгера была получена впервые в работах [21-23] и названа системой Гамнльтона-Эрснфсста.
Метод квазнкласснчсскн сосредоточенных состояний оказался эффективным инструментом исследования математических моделей, основанных на линейных уравнениях. Обобщение этого метода на случай нелинейных моделей, основанных на нелинейном уравнении тнна Хартрн, является одной из основных задач диссертации. Последнее ^ представляется особо актуальным, поскольку «проблема соответствия» для нелинейных квантовых систем практически не изучена. Полученные в диссертации результаты позволяют по-новому взглянут!, на эту проблему. Показано, например, что классические уравнения движения квантовых средних значений различны в зависимости от классов состояний, на которых осуществляется предельный переход при h —> 0.
Помимо решения фундаментальных проблем квантовой теории, квазнкласснчсскос приближение доказало свою эффективность при расчёте конкретных квантовомеханп-чеекпх эффектов (см. [19,24-38] и цитируемую там литературу). Например, квазиклас-снчсскшш методами могут быть описаны геометрические свойства физических систем, находящихся иод внешним периодическим воздействием. Нетривиальная геометрия и топология системы определяют глобальные свойства решений математических уравпе-% чий, её описывающих. Для квантовых систем с нетривиальной топологией такие свойства «представлены» так называемыми топологическими или геометрическими фазами

есть общее решение системы Гамильтона-Эренфеста (9.2), а через в - столбец операторов
О = (р,х, (Ар)2, -(АрАх - Ах А р), (Ах)7)1.
(9.17)
Здесь через Вт обозначена матрица, транспонированная к матрице В. Систему уравнении (9.2) можно записать в виде
0 = % + Ф), Ol(=s = 0o, п(£) = (сЕ cosut,0,0,0,0)т
(9.18)

/ -p -mil2 0 0 0
1 P 0 0 0
m
0 0 -2 P —2 mtl2 0
0 0 1 0 -rnfl2
m
0 0 0 2 m 2 P
Задача на определение спектра квазиэнергий (1.1) редуцирует задачу о решении системы ГЭ (9.2) к задаче на нахождение её периодических решений
в(Z + T, С) = fl(f, С),
(9.19)
Очевидно, что из условия (9.19) определяются не все произвольные постоянные £. Параметры С, для которых условие (9.19) справедливо, будем обозначать через <£т- Приведем эти периодические решения

X (<, <£т)
- COS U)t,
m(Q2 — о!2)
P(t, €т) = —— sinw£ -(Q2 - си2)

(Q2 - w2)
■ cos ut,
(9.20)
оххУХт) = С5, axp(t,4T) = -трСъ, app(t, 9.2 Ассоциированное линейное уравнение Шрёдпнгера
Решение уравнения (9.1) будем искать в виде следующего анзаца:
4>{x,t,h) - exp^(s(i, Здесь функция Є S (S - пространство Шварца) по переменной £ = Ax//h
и регулярно зависит от ffi, а Ах — х — X(t, £7-). Вещественные функции S(t,€r), Z(t,£x) — (P(t, £г), А'(і, Єг)), характеризующие решение, подлежат определению.
Разложим входящие в уравнение (9.1) операторы в ряд Тейлора по Ах — x—xn,(t, /і), Ay = у — xq(t, А) и Ар = p — pq{t, h). Тогда уравнение (9.1) примет вид
{-iliOt + й(і,Ф) + <й,(і,Ф), Az) + і{Дг,ІІ„(і,Ф)Дг)}Ф = 0, (9.23)
£>(£, Ф) = ^ + fb.xy^hlll _ eExy(t, h) cos uit + pxy(t, h)p*(t, h) +