Массы фермионов и методы алгебраической классификации в объединенных геометрических теориях

• Автор: Болохов, Сергей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 с. : ил.

Глава 1 Гравитация и электромагнетизм в рамках 5-мерной теории Калуцы

1.1 Системы отсчета и монадный метод

1.1.1 Определение системы отсчета

1.1.2 Хронометрическая калибровка

1.1.3 Физико-геометрические тензоры

1.1.4 Операторы дифференцирования

1.2 5-мерная теория Калуцы

1.2.1 Формализм 4+1-расщепления

1.2.2 Калибровка монады

1.2.3 Физико-геометрические тензоры

1.2.4 Операторы дифференцирования

1.2.5 Геометрические уравнения в монадном виде
1.2.6 Переход к электродинамике и ОТО
1.2.7 Негеометрические поля в теории Калуцы
ф 1.3 Связь между гравитацией и электромагнетизмом на алгебраическом уровне
1.3.1 Эвристические аналогии
1.3.2 Соотношения дуальности и электровакуум ЭйнштейнаМаксвелла
1.3.3 Алгебраическая классификация Петрова в гравитации и
электромагнетизме
1.3.4 Алгебраическая классификация при наличии электромагнитных полей
1.3.5 Алгебраическая классификация систем отсчета в ОТО
1.3.6 Интерпретация с позиций 5-мерной теории Калуцы
Глава 2 8-Мерная геометрическая модель грави-сильных взаимодействий
2.1 Фундамент и ключевые особенности 8-мерной теории
2.2 Основные соотношения 8-мерной геометрической теории
2.2.1 Формализм 4+1+1+1+Трасщепления
2.2.2 Физико-геометрические тензоры и операторы диференцирования
2.2.3 Структура полей, действие и размерная редукция
2.2.4 Редукция в бозонном секторе теории

2.3 Фермионный сектор 8-мерной геометрической теории
2.3.1 Матрицы Дирака и алгебра Клиффорда в N измерениях
2.3.2 Спинорные поля в 8 измерениях
2.3.3 Ковариантная производная спинора в N измерениях
2.3.4 Расщепленный фермионный лагранжиан
2.3.5 Редукция в фермионном секторе
Глава 3 Массовый сектор геометрической теории
3.1 Конформные (вейлевские) преобразования
3.1.1 Определение вейлевской группы
3.1.2 Конформные преобразования: бозонный сектор
3.1.3 Конформные преобразования: фермионный сектор
3.1.4 Лемма о факторизации
3.2 Массовый сектор фермионов
3.2.1 Процедура усреднения
3.2.2 Унитарное вращение
3.2.3 Интерпретация
3.3 Редукция на 7-мерие
3.3.1 Основные принципы 7-мерной теории
3.3.2 Частичная размерная редукция
3.3.3 Массы фермионов в 7-мерии
Глава 4 Реляционный подход к описанию взаимодействий
4.1 Математический аппарат реляционной теории
4.1.1 Два множества элементов
4.1.2 Фундаментальная симметрия
4.1.3 Элементарный базис
4.1.4 Фундаментальные отношения и финслеровы спиноры
4.1.5 Описание элементарных частиц
4.1.6 Пространство скоростей
4.2 Взаимодействия в реляционной теории
4.2.1 Действие Фоккера-Фейнмана
4.2.2 Обобщение принципа Фоккера
4.2.3 Базовое (6,6)-отношение
4.2.4 Обменный характер взаимодействий, 11-, У-состояния
4.2.5 Взаимодействия в терминах И-, У-состояний
4.3 Алгебраическая классификация взаимодействий
4.3.1 Структура А-матрицы для V- и 11-состояний
>4.3.2 Классификация электрослабых и сильных взаимодействий
Заключение

Поиск и построение объединенной теории физических взаимодействий - одна из ключевых задач современной теоретической физики. Исследования в данной области сопряжены с целым кругом смежных задач: описание спектра известных (или предсказываемых теорией) элементарных частиц, выявление механизма генерации их масс, прояснение природы пространства-времени и существующей иерархии взаимодействий на различных масштабах (вплоть до масштаба объединения), включая космологические приложения, и т.д. Представленная работа посвящена анализу и развитию методов геометрического и реляционного подходов к описанию взаимодействий. Охарактеризуем специфику предлагаемых подходов, рассмотрев их в историческом контексте развития физических идей двадцатого столетия, связанных, прежде всего, с успехами общей теории относительности и квантовой теории.
Анализируя весь исторически накопленный к настоящему моменту комплекс идей, касающихся задачи описания и объединения взаимодействий, выделим три ключевых подхода, различающихся по ряду концептуальных предпосылок, что дает основание отнести эти подходы к различным физическим парадигмам [1].
1. Калибровочный подход.
Идея калибровочного подхода к описанию взаимодействий исторически возникла как результат переосмысления и обобщения принципа градиентной инвариантности, присущего электромагнитным явлениям. Прообразом для формирования калибровочной концепции (включая соответствующую терминологию) послужили работы Г.Вейля [25, 26, 27].
Как известно, современная калибровочная трактовка взаимодействий исходит из требования инвариантности лагранжианов относительно локализованных групп преобразований полей. (Так, градиентной инвариантности электромагного поля отвечает абелева группа С/(1) фазовых вращений.) При этом векторное поле-переносчик взаимодействий возникает как результат модификации («удлинения») частных производных, компенсирующей нарушение групповой симметрии в процессе её локализации. В связи с этим в работах Д.Д.Иваненко для калибровочных полей был предложен альтернативный термин ’’компенсирующие поля”.
В 1954 году Янг, Миллс [28] обобщили калибровочную трактовку электромагнетизма на случай неабелевых групп симметрий. Соответствующие калибровочные поля получили название полей Янга-Миллса. Первоначально они были введены в рамках классической теории, однако позднее был развит последовательный формализм квантования этих полей [29].
Работы Янга и Миллса стало важной вехой в физике элементарных частиц, прежде всего в физике слабых взаимодействий. Ранее для описания этих вза-

Выделенность координаты ж4, как отмечалось выше, связана с ее клейновским характером (она отвечает за геометризацию масс полей), в то время как остальные координаты (ж5, ж6, ж7) являются калуцевскими, ответственными за геометризацию зарядов частиц (в данном случае - хроматических).
В соответствии с принципами калибровочной теории сильных взаимодействий (КХД) кварки могут существовать в трех цветовых состояниях 5(,-), г = 1,2, 3, составляющих компоненты цветового триплета. Их физическая эквивалентность выражается в терминах калибровочной 5£/ (З)-симметрии. В рассматриваемой 8-мерной теории предлагается следующая зависимость компонент цветового триплета от дополнительных координат:
9(1) ~ ехр(г'7ж5), 9(2) ~ ехр(г7же), 9(3) ~ ехр(г'7ж7). (2.22)
Наличию цветовой 57/(З)-симметрии в терминах геометрического подхода отвечает равенство периодов компактификации калуцевских координат. Таким образом, калуцевские координаты в предлагаемой теории приобретают прозрачную физическую интерпретацию, характеризуя цветовые характеристики частиц.
3. Физические бозонные поля по группе Би(3) (глюоны), зависящие от координат жм, вводятся как коэффициенты гармонического разложения компонент тетрады (?а(8) по экспоненциальным факторам:
Ga(s) = Go{aвAa 4" Ь3Ва--
+х;Х~е-^-х^ + y-Y-e-^-^ + z-Z-e-^-^}, { ' ’
где Аа, Ва суть хроматически «нейтральные» глюонные поля, соответствующие диагональным матрицам Гелл-Манна Аз, As; функции ZfA)
суть шесть хроматически «заряженных» глюонных полей в базисе Картана-Вейля [1, 106], а коэффициенты as,bs,xf,yf,zf представляют собой константы, определяемые из принципа соответствия со стандартным лагранжианом КХД после размерной редукции на 4-мерие [19]. Учитывая (2.22), становится понятна структура экспоненциальных факторов в данном разложении: она полностью согласована с ролью глюонных полей, благодаря которым кварки в процессе взаимодействия «обмениваются» соответствующими цветовыми зарядами.
Разложение (2.23) влечет комплексность 8-мерной метрики Gab- Однако метрика gaß физического пространства-времени V4 остается вещественной в процессе размерной редукции. С другой стороны, комплексная структура метрики Gab позволяет эффективно ввести в теорию неабелевы калибровочные поля, ограничиваясь при этом топологией 4-тора для внутреннего пространства.