Конечномерные интегрируемые системы классической механики в методе разделения переменных

• Автор: Цыганов, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 286 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Метод разделения переменных для конечномерных интегрируемых систем.

§1. Исторический комментарий

§2. Определения, обозначения и основные факты

1. Пуассоновы многообразия

2. Лагранжевы подмногообразия

3. Интегрируемые гамильтоновы системы

4. Представления Лакса

5. Примеры: Стандартное симплектическое пространство. Кокасательные расслоения. Алгебры Ли е(3) и зо(4)

§3. Вырожденные системы

1. Центральные функции в алгебре петель
2. Вырожденные системы на алгебре зЦп,С)
3. Примеры: Магнетик Годена. Система Эйлера-Калоджеро-Мозера. . . 40 §4. Разделение переменных в уравнении
Гамильтона-Якоби
1. Построение переменных разделения
2. Инвариантные переменные разделения
§5. Примеры построения инвариантных переменных разделения
1. Система Неймана
2. Волчок Горячева-Чаплыгина
3. Старшие стационарные потоки уравнения КЛУ
4. Стационарные потоки уравнения Буссипеска
Глава 2. Построение новых интегрируемых систем в методе разделения переменных.

§1. Метод Якоби
§2. Основные факты
1. Различные реализации идеи Якоби
§3. Системы Штеккеля и цепочки Тоды в методе Якоби
1. Системы типа Штеккеля
2. Цепочки Тоды
3. Обобщенные цепочки Тоды
§4. Коммутативные пуассоновы подалгебры для скобок Склянина
1. Введение
2. Свойства скобок Склянина
3. Коммутативные подалгебры
5. Примеры: Обобщенный волчок Горячева-Чаплыгина. Цепочки Тоды.
Спиновые модели
§5. Канонические преобразования расширенного фазового пространства
1. Введение
2. Преобразования сохраняющие уравнение Гамильтона-Якоби
3. Преобразования Кеплера и Лиувилля
4. Преобразования Мопертюи-Якоби
5. Примеры
§6. Построение интегрируемых систем на
пуассоновых многообразиях
1. Симплектические преобразования особых орбит алгебры е(3).
2. Примеры: Квадратичные интегралы. Вырожденные системы. Интегралы старших степеней
Глава 3. Интегрируемые системы типа Штеккеля.
§1. Замена времени для систем Штеккеля
1. Связь различных штеккелевских систем
2. Обобщенные штеккелевские системы
3. Примеры: Дуальные штеккелевские системы. Обобщенные штеккелевские системы. Система Фокаса-Лагерстрема
§2. Системы Штеккеля и отображение Абеля
1. Отображение Абеля
2. Однородные штеккелевские системы

3. Примеры
§3. Представление Лакса
1. Движение по геодезическим
2. Потенциальное движение
3. Однородные штеккелевские системы общего вида
4. Примеры: Параболические и декартовы координаты. Эллиптические и полярные координаты
§4. Замены координат
1. Точечные преобразования
2. Квази-точечные преобразования координат
§5. Вырожденные штеккелевские системы, обладающие кубическим интегралом движения
1. Вырожденные штеккелевские системы
2. Системы Драша
3. Представление Лакса для систем Драша
Глава 4. Цепочки Тоды и дуальные системы.
§1. Преобразования времени для обобщенных цепочек Тоды
1. Двухчастичные цепочки Тоды и дуальные системы
§2. Замена времени для цепочки Тоды Л„ типа
1. Разделение переменных
2. Преобразование Бэклунда
§3. Цепочки Тоды Dn типа
1. Динамические граничные условия
2. Разделение переменных
Глава 5. Интегрируемые системы в динамике твердого тела.
§1. Модель Дайсона расширения газового облака
1. Представление Лакса
2. Анализ Ковалевской-Пенлеве
§2. Разделение переменных в гиростате Ковалевской-Горячева-Чаплыгина
1. Уравнения движения в форме Лакса
2. Переменные разделения
§3. Обобщение системы Пуанкаре
1. Представление Лакса

Ь(тА,р,....,1/) = П^(А,), л1 = л- л2 = Д,---, Аго = 1/,

где / - единичная п х гг матрица. Индекс ] в (1.3.23) указывает в каком из подпространств УД (1.3.22) полного пространства У(т) матрица Л(АД действует нетривиально.
Уравнения движения для матриц Ь^тХ, д,... ,и) имеют так же коммутаторный лаксов вид
|^т)(А,/*...,!/)= [£<>(А,/*...,*), (А, р..., *)] , (1.3.24)
где вторая матрица

А(‘тЦХ,ц...,и)='^А^Хл), Ах = Л , Л2 = д,..., Ат = о (1.3.25)

является суммой матриц АДА.,) (1.3.23), действующих в расширенном вспомогательном пространстве у(т), Как и прежде, алгебраические инварианты матриц ДтДА, д,..., и) порождают инволютивное семейство интегралов движения. Подобные матрицы Лакса с несколькими спектральными параметрами рассматривались ранее в книге [4].
Для построения специальных суперинтегрируемых гамильтонианов рассмотрим следующий аналог отображения симметризации -ш (1.3.6). Введем семейство матриц
X,= Р^тА,д.................и) = Р,Д(А)12(д) • • • Ьт(у), (1.3.26)
где Р, - матрица перестановки в у(т) (1.3.22), определяемая равенством
Р?г (^-1 ® ^2 ^ ® 2-т) ^'7г(1) ® ^7г(2) & ’ * * ® 31?г(т) ? (1.3.27)
ДЛЯ любых векторов X] из С" или
Рг • А±В2- ■ ■ Ап = Аж(1)Вж(2) ■ • ■ Аг(т) • Рг , Р? = А (1.3.28)
для любых п х п матриц А, В,..., А вложенных в пространство у(т) По правилу (1.3.23). При этом перестановка индексов в (1.3.27) и (1.3.28) отвечает некоторой схеме Юнга 7г.
Динамика матриц (X, ц,..., и) задается уравнением
4-Ь^(Х, д ..., А = А, д ..., и) - А(т’*Х, д ..., «/)£<’"■*>, (1.3.29)

где матрица А(т) в (1.3.29) определена формулой (1.3.25), а матрица А^т'п'> отличается от нее перестановкой спектральных параметров, задаваемой схемой Юнга 7Г,
(А, д ...,!/) = РТА^(ХФ...,и)Р,,
(1.3.30)

= ^ ] АДАя-^)) , А2 А, А2 д,..., Ат м.