Когерентные состояния для обобщенного осциллятора

• Автор: Борзов, Вадим Васильевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 223 с. : ил.

Оглавление
1 Введение

2 Ортогональные полиномы и алгебры обобщенных осцилляторов. Симметричный случай

2.1 Симметричная схема построения систем подобных осциллятору

2.1.1 Каноническая система ортогональных полиномов

2.1.2 Несимметричная матрица Якоби

2.1.3 Ядро Пуассона

2.1.4 Гамильтонов формализм

2.1.5 Алгебра обобщенного осциллятора

2.1.6 Обобщенная алгебра згсД2)

2.1.7 Когда оператор импульса является дифференцированием

2.2 Полиномы Эрмита
2.3 Ультрасферические полиномы
2.4 Реализация оператора уничтожения дифференциальным оператором
2.4.1 Постановка задачи
2.4.2 Условия при которых матрица оператора А имеет ненулевые элементы только на верхней
над диагонали
2.4.3 Условия при которых оператор уничтожения А может быть реализован как дифференциальный оператор
2.5 Обобщенные полиномы Эрмита
2.6 Спектральная мера матрицы Якоби для неопределенной проблемы моментов
2.6.1 Вспомогательные сведения

2.6.2 Преобразование Стильтьеса т.(г) спектральной меры
2.6.3 Конструкция спектральной меры
2.7 ц-Полиномы Эрмита
2.7.1 Осциллятор Арика
2.7.2 (росциллятор. связанный с дискретными р-полиномами Эрмита второго рода
3 Ортогональные полиномы и алгебры обобщенных осцилляторов. Общий случай
3.1 Несимметричная схема построения систем, подобных осциллятору
3.2 Полиномы Лагерра
3.3 Полиномы Якоби
3.4 Полиномы Мейкснера и Мейкснера
Поллачека
3.4.1 Осциллятор Мейкснера
3.4.2 Алгебра динамической симметрии и связь между гамильтонианами Н и Н
3.4.3 Полиномы Мейкснера- Поллачека
3.4.4 Осциллятор Мейкснера - Поллачека
3.5 Полиномы Шарлье
3.5.1 Осциллятор Шарлье
3.5.2 Связь с осциллятором Шарлье, предложенным в работах [20. 43]
3.5.3 Унитарная эквивалентность осцилляторов
Шарлье и Эрмита
3.6 Полиномы Кравчука
3.6.1 Конечномерный осциллятор
3.6.2 Осциллятор Кравчука
3.6.3 Вариант осциллятора Кравчука из [20]
3.6.4 Связь двух вариантов осциллятора Кравчука
3.7 Связь между симметричной и несимметричной схемами

4 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора
4.1 Различные определения когерентных состояний для обобщенного осциллятора
4.2 Когерентные состояния для обобщенных осцилляторов, связанных с классическими полиномами
4.2.1 Когерентные состояния для гармонического осциллятора,
связанного с полиномами Эрмита
4.2.2 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Лагерра
4.2.3 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Лежандра
4.2.4 Когерентные состояния Барута- Жирарделло для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Чебышева
4.2.5 Когерентные состояния Барута- Жирарделло для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Геген-бауера
4.3 Когерентные состояния для обобщенных осцилляторов, связанных с q-полиномами Эрмита
4.3.1 Когерентные состояния для q-полиномов
Эрмита- Роджерса Hn(x;q)
4.3.2 Когерентные состояния для дискретных
q-полиномов Эрмита второго рода
4.4 Когерентные состояния для обобщенных осцилляторов, связанных с полиномами Мсйкснсра и Мсйкснсра - Поллачека
4.4.1 Когерентные состояния Барута - Жирарделло для осциллятора Мейкснера
4.4.2 Когерентные состояния типа Псрсломова для осциллятора Мейкснера
4.4.3 Когерентные состояния Барута - Жирарделло для осциллятора Мейкснера - Полланека

удовлетворяет соотношениям (2.1.6) и начальному условию (2.1.7). Для т,ого, чтобы система полипом,ов (2.1.8) была ортонормированной относительно меры р, необходимо и достаточно, чтобы, она была канонической относительно этой меры (т.е. чтобы (положительная) последовательность {Ьп})))0 коэффициентов системы, (2.1.6) была решением, алгебраической системы, уравнений (2.1.2), где моменты, р2к определяются с помощью формул (2.1.3) по мере р).
2. В дальнейшем иногда приходится вместо (2.1.7) рассматривать другое начальное условие
Фо(х) = ф(х). (2.1.9)
Тогда система функций, удовлетворяющая условиям (2.1.6) и (2.1.9) уже не будет сис темой полиномов. Для сохранения свойства оргонормированности нужно ввести новую меру. Пусть ф{х) веществеппозначиая функция па Я1 такая, ч'то измеримая функция но симметричной вероятностной мере р. Рассмотрим новую меру V определяемую соотношением
и{Дх) = | ф(х)ф2р(дх). (2.1.10)
Мьт предполагаем только локальную суммируемость функции ф(х)~2. Мера и не обязательно симметричная мера, т.е. соотношения (2.1.1) для меры и вообще говоря не справедливы. Наряду с определенным выше гильбертовым пространством ТС,,, введем также гильбертово пространство
ЗЛу = Я2(ЯХ; ы{дх))
С МерОЙ, Определяемой (2.1.10). Определим СИСТему фуНКЦИЙ {<0п(ж)}о> Фп(х) Є “Ну П— 0,1
фп(х) = ф(х)фп(х), п = 0,1
Следующее утверждение является простым следствием теоремы 2.1.3.
Следствие 2.1.4. Если система {фп(х)}с(, удовлетворяющая соотношениям (2.1.6), (2.1.7) - каноническая оргпонормированная система вещественных полиномов в и фп(х) вещественная функция такая, ч.то локально суммируемая функция на вещественной оси, то система {»„(ж)}))0,