Квазиклассическое приближение для нелокального уравнения Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова

• Автор: Левченко, Евгений Анатольевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Оператор эволюции и операторы симметрии уравнения ФКПП с квадратичным гамильтонианом
1 Класс траекторно-сосредоточенных функции
2 Объединенная система и квазиклассическое приближение
3 Система ЭЭ для многомерного нелокального уравнения ФКПП
4 Структура решения нелокального уравнения ФКПП в классе траекторно-сосредоточенных функций
5 Оператор эволюции уравнения ФКПП с квадратичным оператором
6 Квазиклассические асимптотики нелокального уравнения ФКПП с точностью 0(Г)лг/2)
7 Невязка квазиклассических асимптотик нелокального уравнения ФКПП в одномерном случае
Глава 2. Квазиклассические симметрии и операторы симметрии уравнения ФКПП
8 Симметрии объединенной системы
9 Нелокальное одномерное уравнение ФКПП с постоянной функцией влияния
10 Л невские симметрии
11 Общая схема вычисления операторов симметрии
12 Фундаментальный сплетающий оператор уравнения ФКПП
13 Операторы симметрии и генерация решений для одномерного уравнения ФКПП с постоянной функцией влияния
Глава 3. Асимптотические решения уравнения ФКПП на больших временах
14 Многообразие локализации
15 Эволюция многообразия локализации
16 Решения системы ЭЭ без конвективного слагаемого
17 Точное решение системы ЭЭ
18 Асимптотические решения системы ЭЭ на больших временах
19 Уравнение на КСП с диффузионным слагаемым
20 Краевая задача для одномерного уравнения ФКПП
Глава 4. Двухкомпонентное уравнение ФКПП
21 Система ЭЭ для многокомпонентного уравнения ФКПП
22 Многокомпонентное ассоциированное уравнение ФКПП

23 Пример решения двухкомпонентного уравнения ФКПП
Заключение
Приложение А
Приложение Б
Приложение В
Список литературы
Введение

Нелинейные математические модели являются одним из основных инструментов анализа сложных систем и процессов. Значительное число моделей, используемых для изучения нелокальных взаимодействий в физических, химических и биологических системах, описываются нелинейными нелокальными интегро-дифференциальными уравнениями (ИДУ).
Среди ИДУ, нашедших широкое применение в физике, особое место занимают кинетические уравнения. Подробный обзор кинетических явлений и их моделей в физике плазмы, в динамике разреженного газа и других физических системах можно найти в [1,2].
В теории бозе-эйнштейновского конденсата используется уравнение Гросса - Питаевско-го (УГП) [3]. Нелокальные УГП описывают эволюцию когерентных квантовых ансамблей днпольных квантовых газов с дальнодействующим диполь-дипольным взаимодействием, которое приводит к появлению новых свойств квантовой материи (см., например, [4] и ссылки в ней).
Уравнение Фоккера - Планка с нелокальной нелинейностью применяется в стохастической теории (см., например, [5]), для описания явлений в нелинейной гидродинамике, астрофизике, физике плазмы, атомной физике и т.д.
Нелокальные уравнения типа реакция-диффузия (РД) используются для описания структур, упорядоченных в пространстве и времени. Структуры подобного типа появляются в результате самоорганизации и играют роль во многих важных явлениях в биологии, медицине, эпидемиологии и экологии (см., например, [6-8]).
Эволюция микробных популяций одного вида с эффектами дальнодействия между индивидами моделируется нелокальными обобщениями классического уравнения Фишера-Колмо-горова-Петровского-Пискунова (ФКПП) [9,10] для популяционной плотности м(.т, £):
щ(х, £) = ВАи(х, £) + аи(х, £) — Ьи2(х, £). (0.1)
Здесь О постоянный коэффициент диффузии, процесс производства популяции происходит с постоянным темпом роста а и квадратичными по плотности конкурентными потерями с коэффициентом Ь.
Нелинейное уравнение ФКПП возникает, в частности, при описании эволюции амплитуд физических процессов в квантовой хромодинамике в области высоких энергий. Но наиболее наглядную интерпретацию уравнение ФКПП имеет в биофизике, где оно применяется для описания популяционной динамики, образования структур, популяционных волн и стационарных состояний в колониях микроорганизмов. Поэтому в дальнейшем основное внимание уделим биофизической интерпретации уравнения ФКПП.

J йуч(у)1^1^Сы(х - ж[-у](£), у - ж[7](а), Ь, в) х оо
- о(<) + -игтру^Х^фК/.) + ко^.)) - А(1) +‘-Щ +
1 /2АМХ 2М?, . ,, . , , ,, ,ч
+ 2Л ~мГ “ ~Щ){Х ~ ХШ) ~ Ш'8){У ~ Ж[71(5))

ОМ2(к)^Х ~ ~~ Мз^’ Я^У ~ ^МООХ^ММ + Мз(*’ 'ч) х

х(у - ф](з)) + -рщ{х - ж[т](<) - Мз(!, в)(у - .фК«))
+ “ 1ТЩТ)^ ~ ^7^~ м&'8)(у ~ х'М(в))(Л(Ф-
-хгпЫ^Ы-уЩКз) + ф) - лфф^фф]^) + к0(г))

= / ФЫ^^Фф-ф](0>2/-ф](>ФФ х
J тЬФ)

Щ(* - ф](£) ~ М3(£, 8){у - ф](з))2 - х
х(х — аг[7](£) — Л/3(£, в)(у — ж[7Кв)) х х(ф)(/,) + М3(Ь,.ч)(у -ф](а) + Л(ф - д<т[7](£)ф](£)Лз)

= J Луф)^^^Сут(1,3, х - ж[-у](£), у - дг[7](я)) х

Х~Ш^Х~ ~ Мз^'^у ~х
х [л(/.)(ж - ф](£) - М3(Ь, з)(у - я;[7](в)) -
-Л(£)(ж - ф](£) - М3{г,з){у - ф](в))1 = °-
При доказательстве были использованы соотношения
т[7](е) = а(£)т[7](£) - хт2[7](£)[ф[7](£) + Аф)],
*М(*) = [К + ктЫфКъ + хт[-7](г)/0з]ж[7](£),
ЛЫ№ = -[-МО + хтЪЩК^)],
Мг(£)М2(£) - Мф)Л/2(г) 2АМ1 2М1 мф) _ ~ ~Щ'
М3(£) = -Л[7](*)М3(£).
Теорема доказана.