Исследование интегрируемых спиновых цепочек типа XXZ в подходе алгебр Гекке

• Автор: Оськин, Андрей Федорович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 112 с. : ил.

посвящается моим родителям и брату
1 Аффинные группы кос
1.1 Системы Кокстера и системы корней
1.2 Расширенные группы Вейля
1.3 Подгруппа сдвигов в аффинной группе кос
1.4 Элементарный гомоморфизм групп кос А-типа и элементы
Юциса-Мёрфи
1.4.1 Построение подгруппы сдвигов для группы кос ВА2
1.4.2 Общая конструкция элементов Юциса-Мёрфи
2 Алгебра Гекке и её представления
2.1 Алгебры Гекке А-типа
2.2 Представления алгебр Гекке
2.2.1 Разложение Пирса
2.2.2 Собственные значения элементов Юциса-Мёрфи
2.2.3 Окрашенные графы Юнга и явная конструкция примитивных идемпотентов
2.2.4 Неприводимые матричные представления алгебры Гекке
2.3 Факторизованные формулы примитивных идемпотентов
2.3.1 Бакстеризованные элементы
2.3.2 Конструкция разложения примитивных идемпотентов
2.3.3 Нормировочный множитель и квантовая размерность

2.4 Частичный порядок на таблицах Юнга
3 Алгебра Гекке и интегрируемые модели
3.1 Построение гамильтониана ХАЯ-моде л и для алгебр Гекке
3.1.1 Спектр гамильтониана при малых п
3.2 Явный вид представлений Гекке алгебры для угловых диаграмм
3.3 Спектр #(&д)(д)
3.4 Спектр Я(*і2)(д)
3.5 Общий случай: спектр
Заключение
Литература

Доказательство. Докажем это утверждение по индукции. Так как У — 1, то его спектр очевидным образом вкладывается в множество {д22*} = {1}. Допустим, что спектр элемента ‘Jj-i при некотором j ^ 2 удовлетворяет этому свойству, то есть Зрес{^_1} С {д22Д. Рассмотрим характеристическое уравнение для у^~ (] ^ 2):
/(2/7-1) := П {Уз-1 ~ 4-х) = °> (4-1 е 3Рес(%'

Используя свойства (2.2.4)-(2.2.б) операторов Uj) мы заключаем, что О = иД{у^)и^ = /(у,)Ц] = /(У])( что означает, что Эрес(уД С (вреДу-щх) и д±2 • Зрес^-Д). ■
Рассмотрим теперь подалгебру в 'Нп+г с образующими у*, у^ и Т) (для фиксированных г ^ п) и её представления построенные таким образом, чтобы Уг и Уг+ были диагональными. Обозначим Е собственный идемпотент для ?/г, Уг+1 - — ^Е, У1+Е = а^хЕ. Тогда действие слева
7^2^ замкнуто на элементах щ = Е и = Д73 и даётся матрицами:
й О, (228)
V 0 аг+1 )
( аш (д - д~г)а1+1
0 ). (2.2.9)
при этом аг ф аглЛ в противном случае у;, уг+1 недиагонализуемы. Матрицы у;, уг+1 (2.2.8) могут быть одновременно диагонализованы преобразованием подобия у —> У_1уУ, где
(1
а* 0.1+1 У"1 =
0 1)
В результате получается