Интегрируемые модели для уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера

• Автор: Тюменцев, Владимир Александрович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 100 с. : ил.

1 Уравнение Дирака в римановом пространстве
1.1 Понятие риманова пространства
1.2 Понятие оператора симметрии
1.3 Определение уравнения Дирака в римановом пространстве
* 1.4 Операторы симметрии уравнения Дирака
1.5 Векторное поле Киллинга
1.6 Векторное поле Яно
1.7 Тензорное поле Яно-Киллинга
1.8 Тетрадный формализм
1.9 Плоское пространство
1.10 Пространство де Ситтера
1.11 Резюме
2 Методы интегрирования уравнения Дирака
2.1 Метод полного разделения переменных
2.2 Метод некоммутативного интегрирования
* 2.3 Резюме
3 Алгебра операторов симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры
3.1 Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в плоском пространстве
3.2 Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера

3.3 Оператор Дирака и его операторы симметрии в плоском пространстве и в пространстве де Сит-тера
3.4 Структура алгебры симметрии уравнения Дирака
3.5 О некоммутативном интегрировании с помощью
подалгебр
3.6 Резюме
4 Точно интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де
Ситтера
4.1 Постановка задачи. Алгоритм некоммутативного интегрирования
4.2 Интегрирование уравнения Дирака в плоском
пространстве
4.2.1 Выбор подалгебры и построение Л- представления
4.2.2 Точное решение уравнения Дирака в модели с киллинговыми симметриями (массивный случай)
^ 4.2.3 Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией (безмас-совый случай)
4.3 Интегрирование уравнения Дирака в пространстве де Ситтера
4.3.1 Выбор подалгебры и построение А- представления
4.3.2 Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией
4.4 Анализ решений и спектр

4.5 Одна модель асимптотически плоского пространства
4.5.1 К вопросу о склейке
4.6 Резюме
Заключение
Приложение А. Матрицы Дирака
* Приложение В. Разложения матриц вида е^~°^'уге^
Приложение С. Алгебра операторов симметрии
Приложение Б. Операторы симметрии уравнения Дирака в 4-сферической системе координат
Приложение Е. Случай уравнения (126) с условием з = $
Библиография

Здесь Я{х, А, 5. Подставляем решение (104) в уравнение Дирака (103) и получаем ОДУ на неизвестный спинор Р(и(х, А, У)).
6. Общее решение Ф(ж) уравнения Дирака определяется через решение (104) посредством формального разложения
Ф(я) = У>с(А)Ф>/(а;,А)ф(А). (105)

Согласно пункту 1 алгоритма делаем вывод: из-за идентичности подалгебр операторов симметрии (78)-(81), (82) и (85)-(90) в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера А - представления подалгебр (97) в обоих пространствах будут совпадать. Будут различны операторы симметрии, используемых подалгебр.
4.2 Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве
4.2.1 Выбор подалгебры и построение А- представления
Лемма 3 Занумеруем элементы каждой подалгебры Аг из (97) в таком порядке Аг = [Х, Х2, Хз, Х4} (например, в А4: Х = У,Х2 = Уз,Хз = Уз, Х4 = бо). Тогда каждая из данных 4-х подалгебр (97) сводится к алгебре Ли с коммутационными соотношениями:
[ХХ2] = X3 [Х3,Х1] = X2
[Х‘,Х4]=0 [А'2,Х4] =0 [ХХ1]=й '
с помощью домножения каждого оператора на определенный коэффициент.