Деформация скобок Пуассона и интегрируемые системы на алгебрах e(3) и so(4)

• Автор: Вершилов, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 91 с.

Содержание
Введение
Обзор литературы
Глава 1. Основные определения
1.1. Бигамильтоновы многобразия
1.2. Совместные тензора Пуассона
1.3. Деформации скобок Пуассона
1.4. Линейные и квадратичные по моментам деформации
1.5. Алгебры Ли е*(3) и во*(4)
Глава 2. Интегрируемые возмущения гиростата Ковалевской
2.1. Гиростат Ковалевской в двух постоянных полях
2.2. Интегрируемое возмущение гиростата Ковалевской в двух постоянных полях
2.3. Бигамильтонова структура для системы Соколова
2.4. Бигамильтонова структура для гиростата Ковалевской на алгебре во* (4)
Глава 3. Бигамильтоновы структуры на во*(4) и е*(3)
3.1. Квадратичные тензора Пуассона
3.2. Переменные Дарбу-Нийенхейса
3.3. Интегрируемые системы
3.4. Системы Богоявленского
Глава 4. Интегрируемые системы на сфере с кубическим интегралом движения

4.1. Уравнения Селивановой
4.2. Система Валента д = О
4.3. Система Валента д Ф
4.4. Интегрируемые системы и тригональные кривые
4.5. Система Горячева
Заключение
Литература

Введение
Актуальность работы Метод разделения переменных широко применяется в классической механике и математической физике. Например, хорошо известно, что многие классические специальные функции первоначально появились при решении волнового уравнения и уравнения Лапласа методом разделения переменных. В общем случае метод разделения переменных является геометрически не инвариантным и зависит от удачного выбора координат, в которых происходит разделение.
В настоящее время для построения переменных разделения в уравнении Гамильтона-Якоби используют инвариантные геометрические объекты, такие как тензора Киллинга, матрицы Лакса и отвечающие им функции Бейкера-Ахиезера и преобразования Бэклунда, операторы рекурсии и т.д. Несмотря на то, что единого алгоритма построения переменных по-прежнему не существует, создано несколько эффективных алгоритмов вычисления переменных разделения в нескольких частных случаях.
Для уравнений Гамильтона-Якоби, допускающих разделение переменных в одной из ортогональных криволинейных систем координат на рима-новых многообразиях, создана инвариантная геометрическая теория нахождения дополнительных интегралов движения, симметрий, переменных разделения и разделённых уравнений. Более того, создано программное обеспечение, которое позволяет находить все эти объекты, используя современные системы компьютерной алгебры [23].
Для уравнений движения, для которых известно представление Лакса, согласно работам Дубровина, Крнчевера и Склянина, переменные разделения можно построить, используя функцию Бейкера-Ахиезера в подходящей нормировке [65]. Основным недостатком данной конструкции является отсутствие общего алгоритма построения матриц Лакса и подходящих нормировок
На данном бигамильтоновом многообразии М определены две цепочки Ленарда [40]:
Р'йНо = 0, Хг = Р'сШі = РйН0 , Х2 = Р'с1Н2 = Р(1Н, Р(1Н2 =
Р'(1Ко = 0, Уі = Р'(1К = Рс1К0 , У2 = Р’(іК2 = РйКх, РйК2 = 0 ,
которые можно представить в виде следующих диаграмм

<1Н0-р~ Хг

(1К0 —р-~ Уі

йН1 — Х

(1Кг-

<1Н2—о

с1К2-р +
Напомним, что дифференциал (1Н функции Н можно представлять как вектор с компонентами (сШ% = дН/дгк, к = 1,..., 10.
Входящие в эти цепочки Ленарда функции Щ и Kj находятся в би-инво-люции относительно совместных скобок Пуассона. Первые три функции имеют относительно простой вид
Но — Н = -(х, х) - (у, у) - 2к(73 - р), Н2 = к2, а остальные три функции из второй цепочки Ленарда имеют более сложную