Геометрические методы исследования интегрируемых и суперинтегрируемых систем в классической механике

• Автор: Григорьев, Юрий Александрович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 92 с.

Содержание
Введение
Обзор литературы
Глава 1. Основные определения
Глава 2. Разделение переменных для Ь-систем
2.1. Метод построения переменных разделения
2.2. Результаты применения бигамильтонова подхода к интегрируемым системам
Глава 3. Построение суперинтегрируемых систем с использованием теорем сложения
3.1. Алгебраические интегралы для уравнений Абеля
3.2. Классификация суперинтегрируемых систем типа Эйлера
3.3. Суперинтегрируемые системы типа Ришело
3.4. Системы Ришело, интегрируемые в одной из ортогональных
систем координат
Глава 4. Разделение переменных для более широкого класса бигамильтоновых систем
4.1. Обобщённая система Энона-Эйлеса
4.2. Обобщённая система с потенциалом четвёртой степени
Литература

Введение
Актуальность работы
Исследование интегрируемых систем с момента постановки задачи разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби и поиска интегралов движения систем классической механики являлось одной из самых сложных проблем теоретической физики. После первых успехов для множества известных к тому времени и некоторых вновь построенных интегрируемых систем прогресс в этой области замедлился, поскольку общего метода исследования заданной интегрируемой системы не было обнаружено, и нахождение переменных разделения превратилось в своего рода искусство, в котором каждый из исследователей должен был выбирать различные методы решения для различных систем, не имея возможности предвидеть результаты применения этих методов и очертить круг действий (таких, как замены переменных, переход к промежуточным координатам), необходимых для успешности исследования.
Нахождение переменных разделения для конечномерных интегрируемых систем оставалось скорее искусством, чем научным методом на протяжении более века, хотя в течение этого времени были построены подробные классификации интегрируемых систем по виду интегралов движения, и выявлена связь теории интегрируемых систем с некоторыми классами нелинейных систем. Метод решения обратной задачи рассеяния, построенный во второй половине XX века, позволил найти явные решения для широкого класса нелинейных уравнений, а последующий перенос многих его положений на квантовый случай предоставил возможность его применения для построения точных решений большого количества интегрируемых систем, описывающих модели квантовой механики, квантовой теории поля и статистической физики.
Дальнейшее изучение возможностей переноса методов исследования интегрируемых систем с классических на квантовые случаи позволило выделить

основные элементы таких схем, вернуться к исследованным ранее классическим системам и сделать первые шаги к пониманию причин успеха или неудачи в разделении переменных для тех или иных систем. Внутренние симметрии систем и вообще методы задания систем и пространств, в которых интегрируемые системы определены, оказали определяющее влияние на развитие методов разделения переменных в 1980-е годы. Найденные инвариантные характеристики интегрируемых систем позволили создать новый математический аппарат для решения классической задачи, в котором оказались естественным образом взаимосвязаны функциональный анализ, теория функций, алгебраическая, дифференциальная и пуассонова геометрия, теория групп и алгебр Ли.
Быстрое развитие в конце XX и начале XXI века компьютерных средств, разработанных для решения различных математических задач, в частности, пакетов компьютерной алгебры общего назначения, позволило в полной мере использовать найденные связи между теорией интегрируемых систем и другими областями математической физики. Возможность использовать компьютеры для сложных и объёмных расчётов оказалась ключевой для применения формализованных методов исследования интегрируемых систем, позволив как применять их для уже изученных систем с интегралами высоких степеней по импульсам, так и с гораздо меньшими усилиями исследовать обширные классы в том числе и новых интегрируемых систем.
Таким образом, современные хорошо формализуемые методы исследования интегрируемых систем являются одним из актуальных направлений в теории квантовых и классических интегрируемых систем. Интерес к таким методам определяется не только практическим значением метода для разделения переменных в заданной системе классической механики, но и теоретическими возможностями построения новых интегрируемых систем и более полного понимания их организации, как для классического, так и для

В общем случае дифференциальные уравнения хкг ёхг
£ = о, 4=0,1

связывающие полиномы
Хг — а2пхг" + а2п-1хп 1 + + аХг + ао
от переменных хг, обладают следующим дополнительным интегралом:

-01(д+---+£)-Чд+"'+1

где Р(х) — П(х — X.])- Этот дополнительный интеграл был получен в работе [82]. В случае п = 2 он связан с интегралом Эйлера (3.5), а при п > 2 можно получить целое семейство таких функционально независимых дополнительных интегралов [82, 102].
3.2. Классификация суперинтегрируемых систем типа Эйлера
Для построения суперинтегрируемой штеккелевской системы на основе теорем сложения Эйлера (3.6) и (3.11) рассмотрим гиперэллиптическую кривую
д2 = Р(А), где Р(х) = X, и пару произвольных замен переменных
Л? = рДр?); Д? = из(Я] )Р]; .7 = 1)2,
где р и д — канонические переменные , <7г}
Применив замены переменных к гиперэллиптической кривой, получим пару разделённых уравнений
р) ${$]) = а'уД)4 + 46г;ДдД3 + 6сг;:;(дД2 + 4сгг>ДдД + е, 7 = 1,2, (3.12)