Траектории гравитационного рассеяния и их астрономические приложения

• Автор: Соколов, Леонид Леонидович
• Шифр специальности: 01.03.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 233 с. : ил.

1 ВВЕДЕНИЕ

2 О СВОЙСТВАХ ТРАЕКТОРИЙ ЗАДАЧИ N ТЕЛ

2.1 Исторические замечания

2.2 Гравитационные рассеяния

2.3 Глобальная неинтегрируемость задачи N тел

2.4 Хаос, квазислучайность и гравитационные маневры

3 ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ N ТЕЛ

3.1 Основная теорема

3.2 Разлет одиночных тел без сближений

3.3 Разлет двойных

3.3.1 Области Но, Но (г)

3.3.2 Мажорантные оценки некоторых величин
3.3.3 Теорема о разлете двойных
3.3.4 Разлет двойных и одиночек
3.4 Интегрируемость
3.4.1 Основная теорема о существовании интегралов
3.4.2 Региональная интегрируемость задачи N тел
3.5 Планетная гиперболическая задача
4 ОБ УСЛОВИЯХ ПРИМЕНИМОСТИ ИТЕРАТИВНОГО МЕТОДА
4.1 Простой вариант ограниченной задачи трех тел
4.2 Численное интегрирование и сходимость итераций

4.3 Характеристики ближайших звезд и условия сходимости итераций
4.4 Влияние звезд на планетные орбиты
5 ТРАЕКТОРИИ С ОДНОКРАТНЫМ РАССЕЯНИЕМ
5.1 Порождающие решения с обменом, захватом и распадом в ограниченной плоской планетной задаче
5.2 Сходимость итераций для траекторий обмена
5.3 Метод точечных гравитационных сфер
5.4 Условия захвата кометы
5.5 О преобразовании эллиптической орбиты
5.6 Оценка влияния несферичности планеты
6 МНОГОКРАТНЫЕ РАССЕЯНИЯ В ПЛАНЕТНОЙ СИСТЕМЕ
6.1 Порождающие движения
6.2 Области достижимости для порождающих движений
6.3 Маршрутные схемы в ограниченной круговой задаче
6.4 Построение траекторий с многократными рассеяниями
6.5 Астероид Апофис
6.6 Порождающие квазислучайные траектории Апофис
6.7 Возможные опасные сближения Апофис с Землей
7 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
8 Приложение. Вспомогательные математические предложения. Иллюстрации
ЛИТЕРАТУРА

ГЛАВА
Настоящая работа посвящена исследованию траекторий рассеяния гравитационно взаимодействующих тел. Они, как обычно, в подавляющем большинстве случаев считаются материальными точками. Рассеяния — изменения движения подсистем или отдельных тел в результате сближений, до и после которых эти подсистемы (тела) удаляются на большие расстояния и почти не взаимодействуют. Таким образом, рассматриваются специальные случаи классической небесномеханической задачи N тел. Основное внимание уделяется гравитационному взаимодействию тел, движущихся с большими скоростями без тесных сближений, а также рассеяниям при сближениях с планетами. В последнем случае многократные рассеяния ведут к стохастическим траекториям.
Возможные приложения связаны с динамической эволюцией звездных систем малой кратности, которые нередко распадаются; эволюцией орбит экзопланет под действием близких звезд; гравитационными маневрами космических аппаратов у планет и их спутников; особенностями движения астероидов, сближающихся с Землей.
Задача N тел, т.е. описание возможных движений N материальных точек, притягивающихся по закону Ньютона, является одной из основных фундаментальных проблем небесной механики и динамики. Роль ее в развитии математики и естествознания невозможно переоценить. За триста лет в этой проблеме получено немало результатов первостепенной важности; еще больше идей и результатов в смежных областях науки обязаны своим происхождением небесно-

Нулевое приближение (3.10) — целая функция времени и начальных данных. Опираясь на (3.11) по индукции легко доказать, что хп(Х, У, Ь),уп(Х, У, £) обладают гладкостью а по совокупности переменных в области Ло(г) х [0, оо). Если фиксировать начальные данные, то хп обладает гладкостью (г+1, а уп — гладкостью а+ 2 . Что касается решения х*,у*, то по общей теореме [13, §32.6] оно имеет гладкость а по совокупности переменных в области Но (г) х [0, оо).
Замечание 3. Исследуемые в механике уравнения движения, как правило, инвариантны относительно перемены знака времени. Система (3.4) переходит в себя при подстановке £ (—> —£, х I—> —х, у н—■+ у, /(ж,у) |—-> /(—ж, у). Поэтому теорема 1 остается справедливой и для прошлого при естественных изменениях условий. Именно, обозначим области Л, Г)1 через Л+, Л£ь, а аналогичные области, заметаемые полутраекториями при —оо < £ ^ О, через Л~, ЛД Доказанные свойства ЛД Л**- переносятся и на Л-,ЛД причем Л+ Р) Л- = Ло. Для справедливости теоремы 1 при отрицательных £ с очевидными переформулировками надо лишь заменить (3.7) на
/О /-О /-О
Ф(£)сЙ^Д / ФД^сЙ^Д, / |£[Ф2(£)<Й ДС2.
оо —оо Д
(3.25)
Обозначим через Л объединение Л = Л~(ДЛ+. Очевидно, Л4 = Лг~ при £ ф О, Л4 = Л^ при £ У 0, Ло = Л^ = ЛД Утверждение теоремы 1 остается справедливым с соответствующими переформулировками при —оо < £ < оо, если в (3.25) заменить пределы интегрирования на —оо, оо. Заметим только, что бесконечная в обе стороны область Л уже не будет в общем случае выпуклой, что не существенно: играет роль только выпуклость Л*.
Проиллюстрируем теорему на простом примере интегрируемой системы.
ж = -щ, у = ж, у > 0. (3.26)