Вариационно-разностный метод решения нестационарных волновых задач динамики тонкостенных конструкций

• Автор: Чекмарев, Дмитрий Тимофеевич
• Шифр специальности: 01.02.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 263 с. : ил.

1. Вариационная постановка задач и основные уравнения нестационарных динамических процессов в упругопластических средах, пластинах и оболочках
1.1 .Задачи динамики упругопластических сред
1.2.3адачи динамики оболочек. Модель Тимошенко
1.3.Дисперсионные свойства уравнений теории пластин Тимошенко
2. Вариационно-разностный метод
3. Преобразование вариационно-разностных и конечно-элементных численных схем к виду конечно-разностных
3.1.Сеточный аналог формул интегрирования по частям. Конечноразностное представление вариационно-разностных схем.
3.2.Конечно-разностное представление схем МКЭ
3.3.Примеры преобразования схем МКЭ в конечно- разностные
3.4.Автоматическое построение конечно-разностного представления схем МКЭ. Алгоритм преобразования и программная реализация
3.5.Результаты работы программы построения конечно-разностного представления схем МКЭ
4. Анализ аппроксимации задач теории пластин типа Тимошенко по пространственным переменным. Проблема малого параметра и крупных сеток
4.1.Вывод сеточных уравнений вариационно-разностных и конечноэлементных схем теории пластин типа Тимошенко
4.2.Анализ численных схем решения одномерных задач теории пластин
4.3.Индексная коммутативность численного дифференцирования
4.4.Эквивалентные преобразования разностных схем
4.5.Анализ и тестирование численных схем решения двумерных задач теории пластин и оболочек
4.6. «Ажурные» схемы метода конечного элемента
5. Устойчивость численных схем
5.1.Оценки устойчивости вариационно-разностных схем решения плоской задачи теории упругости
5.2,Оценки устойчивости разностных схем решения трехмерной задачи теории упругости
5.3.Оценки устойчивости одномерных схем теории пластин Тимошенко
5.4.0ценки устойчивости двумерных схем теории пластин Тимошенко
5.5. Неустойчивость типа «песочные часы»
5.6. Граничная неустойчивость численных схем решения задач трехмерной теории упругости
6. Повышение эффективности численных схем решения задач динамики конструкций. Явно-неявные схемы со стабилизирующим оператором
6.1.Регуляризация численных схем теории пластин и оболочек
6.2.Разностная схема решения плоской задачи теории упругости с Q. неявным стабилизирующим оператором
6.З.Схемы со стабилизирующим оператором с точки зрения МКЭ
6.4.Регуляризация численных схем решения трехмерной задачи теории упругости
6.5.Численные результаты
7. Численный анализ нелинейных процессов деформирования тонкостенных конструкций при импульсных воздействиях
7.1 .Выпучивание цилиндрической оболочки при неосесимметричном продольном ударе
7.2.0сесимметричное выпучивание сферических куполов под действием импульса давления
7.3.Выпучивание пологих сферических куполов, квадратных в плане, под действием импульса давления
Заключение
Список литературы
Тонкостенные конструкции широко используются в современной технике. Возрастают как сложность используемых конструкций, так и требования к их качествам: экономичности, надежности, безопасной работы в экстремальных режимах интенсивного нагружения и т. д.. Для улучшения их свойств все чаще используются как новые композиционные материалы, так и другие методы повышения работоспособности: применение многослойных оболочек, армирования, заполнителей, подкрепляющих элементов, ребер жесткости и т. д.. Расчет таких конструкций становится все более сложной задачей в связи с объективным ухудшением свойств математических моделей процессов деформирования. Причинами этого являются: наличие элементов разного масштаба, геометрические размеры которых могут отличаться в десятки раз, скачкообразное изменение механических свойств внутри конструкции, большой разброс спектра собственных частот, нелинейность и ряд других факторов. В результате, многие задачи механики тонкостенных конструкций являются жесткими, а существующие численные методы их решения - неэффективными. Особенно остро данная проблема проявляется при решении задач нестационарной динамики конструкций. Методы расчета тонкостенных конструкций, содержащих особенности в виде тонких и жестких слоев, концентраторов напряжений и других особенностей недостаточно разработаны. Следовательно, актуальна проблема разработки эффективных численных методов решения жестких задач деформирования конструкций при интенсивных динамических воздействиях с учетом эффектов геометрической и физической нелинейности рассматриваемых процессов.
Проблема построения эффективных численных схем тесно связана с анализом и конструированием их свойств, к которым относятся: анализ точности и устойчивости; определение границ эффективной применимости в зависимости от геометрии конструкции, свойств нагружения, материала и других факторов;

При наличии свободной границы возможны также решения с экспоненциальным убыванием амплитуды типа рэлеевских волн. Так, в полуплоскости хх > 0 появляются дополнительные монохроматические решения вида и = иоът(£Х+ он + (ра)е~1’*'. Здесь Е, - вектор, ортогональный оси ОХ1.
Рассмотрим волновые решения линейной однородной задачи теории пластин типа Тимошенко. Легко видеть, что система (1.29) распадается на две системы. Первые два уравнения представляют из себя систему уравнений плоской задачи теории упругости (плоское напряженное состояние). Соответственно их дисперсионные свойства те же, что и у трехмерной задачи. Три последних уравнения описывают поперечные колебания теории оболочек Тимошенко. Рассмотрим их свойства подробно.
Выпишем систему из трех последних уравнений (1.29), введя для удобства следующие обозначения:

Данная система, как и система уравнений Ламе, имеет решения в виде монохроматических плоских поперечных волн с волновым вектором = (^,Е,г). Без ограничения общности можно положить волновой вектор коллинеарным оси ОХ1 и для анализа дисперсионных свойств рассмотреть