Нелинейные многоволновые взаимодействия в тонкостенных элементах конструкций

• Автор: Ковригин, Дмитрий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.02.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 215 с. : ил.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. К современным механическим конструкциям предъявляются жесткие требования функциональности, надежности, экологии, экономичности и т.д. В частности, для решения подобного комплекса проблем необходим достоверный прогноз динамического поведения конструкций в различных режимах эксплуатации. Опыт показывает, что при динамических испытаниях тонкостенных оболочечных конструкций часто возникают пространственно локализованные бегущие волны, нестационарный обмен энергии между различными формами колебаний, взаимодействия между короткими и длинными волнами и т.д. Некоторые из подобных эффектов до настоящего времени не поддавались изучению в рамках классической теории нелинейных колебаний оболочек. В настоящей работе разрабатывается методика решения подобных задач с позиций теоретико-волнового подхода, обеспечивающего ясную трактовку и внутреннее единство результатов, полученных при исследовании нелинейных многоволновых процессов в тонкостенных элементах конструкций (стержне, круговом кольце, пластинке и цилиндрической оболочке).
Состояние вопроса. В середине двадцатого века в связи с бурным прогрессом в технике возникла неизбежность развития теории нелинейных колебаний тонкостенных оболочечных конструкций. Начало теоретическим и экспериментальным исследованиям положено Григолюком Э.И и Рейсснером [1955]. В качестве уравнений движения использовались геометрически нелинейные уравнения пологих оболочек типа Кармана [1910]. Динамический прогиб и функция напряжений в срединной поверхности оболочки аппроксимировались “одночленными” разложениями в ряд Фурье с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени. В результате исследования такой математической модели была найдена зависимость между частотой и амплитудой колебаний и был обнаружен эффект несимметричности динамических прогибов оболочки относительно ее недеформированной срединной поверхности, что, по существу, явилось первым свидетельством об ограниченности теории линейных колебаний.
Дальнейшее развитие различные аспекты теории нелинейной динамики тонкостенных конструкций (вопросы динамической устойчивости, взаимодействия оболочек с жидкостью и упругим заполнителем, флаттерные задачи) получили в 60 — 70 годы благодаря трудам видных отечественных и зарубежных ученых — Болотина В .В., Челомея В.Н., Лаврентьева М.А., Ишлинского А.Ю., Новожилова В.В., Колесникова К.С., Образцова И.Ф., Каудерера Г., Вольмира A.C., Амбарцумяна С.А., Гузя A.H., Кильчевского H.A., Филиппова А.П., Шмидта, Довелла Е.Г., Эвенсена Д.А., Мацузаки E., Новински Дж. Н. и многих других. Основные результаты были получены при исследовании собственных и вынужденных колебаний нелинейных систем, сводимых к простейшим моделям с од-ной-двумя степенями свободы. Такие модели позволили установить ряд важнейших закономерностей нелинейного поведения, которые затем нашли экспериментальное подтверждение — явления колебательного гистерезиса, срыва колебаний в резонансной области и т.д.
Ряд экспериментальных исследований, проведенный в 70 — 80 годы прошлого столетия, показал, что упрощенные модели оказались неприемлемыми для описания нелинейных процессов, в основе которых лежит взаимодействие различных форм колебаний, например:
— динамической неустойчивости осесимметричных форм колебаний колец и цилиндрических оболочек, приводящей к возбуждению стационарных и нестационарных изгибных волн (Линдберг Дж.Е. [1974], Гинсберг Дж. Г. [1974]);
— циклических “биений” сопряженных форм колебаний в цилиндрических оболочках (Чен И.С. и Бабкок К.Д. [1975], Кубенко В.Д. и др. [1984]);
— нестационарного возбуждения изгибных колебаний оболочек на частотах в целое число меньших собственной (Солодилов В.Е. [1980]) и т.д.
Основной этап теоретического исследования подобных нелинейных явлений состоял в выборе базисных функций задачи для последующего применения метода Бубнова-Галёркина. Решение задачи аппроксимировалось различными “многочленными” разложениями. К примеру, в монографии Кубенко В.Д. и др. (Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек, Киев: Наукова думка, 1984) можно найти четыре различные версии аппроксимации прогибов оболочки, предложенные различными авторами при постановке практически одной и той же задачи. Оказалось, что при одних значениях параметров системы может быть предпочтительнее одна из таких аппроксимаций и получаются результаты, согласующиеся с экспериментом, но при других значениях параметров ситуация может измениться. Поэтому никаких строгих доводов в пользу выбора той или иной модели не было. Подобное положение вещей сохраняется и по сей день. Примеры тому можно найти в сравнительно недавних работах по нелинейным взаимодействиям осесимметричных и неосесимметричных форм изгибных колебаний в оболочках с жидкостью (Амабили М. и др. [1998, 1999]).
Существенный прогресс в понимании природы нелинейного взаимодействия различных форм колебаний упругой системы был достигнут в рамках теоретико-волнового подхода, который развивался в 70 — 80 годы в следующих направлениях:
— волны конечной амплитуды в прямолинейных стержнях (Карнаухов В.Г. [1973]; Островский Л.А., Сутин А.М. [1977]; Березовский A.A., Жерновой Ю.В.

Здесь М - число резонансно взаимодействующих квазигармоник; тп - некоторые целые числа (|т„| + ... + тм| = М); Дш и Дк параметр малой расстройки. Если система характеризуется К независимыми условиями синхронизма, то можно говорить о К-ой кратности резонанса.
Пример 1. Рассматриваются линейные поперечные колебания тонкой балки, подверженной действию малой внешней периодической силы и параметрического возбуждения, согласно уравнению